koshe dekhi 3.2 class 10 কষে দেখি-3.2 | Class-10 | বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য(Theorems related to circle) | দশম শ্রেণী | অধ্যায়-3

প্রশ্ন 1 O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্বটি হলো OD।

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অতএব, AD = 8 / 2 = 4 সেমি।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ (OA) = 5 সেমি।

এখন, ΔOAD একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ OA = 5 সেমি এবং ভূমি AD = 4 সেমি।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

OD² + AD² = OA² বা, OD² + 4² = 5² বা, OD² + 16 = 25 বা, OD² = 25 – 16 = 9 বা, OD = √9 = 3 উত্তর: O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 3 সেমি।

প্রশ্ন 2 O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি। PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 26 সেমি।

অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ (OP) = 262 = 261321 = 13 সেমি।

কেন্দ্র O থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব (ধরি লম্বটি OD) = 5 সেমি।

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর লম্ব অঙ্কন করলে তা জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, PD = DQ হবে।

এখন, সমকোণী ΔOPD থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই,

PD² + OD² = OP² বা, PD² + 5² = 13² বা, PD² + 25 = 169 বা, PD² = 169 – 25 বা, PD² = 144 বা, PD = √144 = 12

যেহেতু OD লম্বটি জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে, তাই সম্পূর্ণ জ্যা PQ-এর দৈর্ঘ্য হবে PD-এর দ্বিগুণ।

অতএব, PQ = 2 × PD = 2 × 12 = 24 উত্তর: PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি।

প্রশ্ন 3 O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং O বিন্দু থেকে PQ-এর দূরত্ব 2.1 সেমি। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

দেওয়া আছে, বৃত্তের জ্যা PQ-এর দৈর্ঘ্য = 4 সেমি।

কেন্দ্র O থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব (ধরি লম্বটি OD) = 2.1 সেমি।

আমরা উপপাদ্য থেকে জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা-কে সমান দুটি ভাগে বিভক্ত করে (সমদ্বিখণ্ডিত করে)।

অতএব, PD = PQ2 = 42 = 4221 = 2 সেমি।

এখন, ΔOPD একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার লম্ব OD = 2.1 সেমি এবং ভূমি PD = 2 সেমি।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য (অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²) প্রয়োগ করে ব্যাসার্ধ OP-এর মান নির্ণয় করি:

OP² = OD² + PD² বা, OP² = (2.1)² + 2² বা, OP² = 4.41 + 4 বা, OP² = 8.41 বা, OP = √8.41 = 2.9

অতএব, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.9 সেমি।

বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2 × ব্যাসার্ধ = 2 × 2.9 = 5.8 সেমি। উত্তর: বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.8 সেমি।

প্রশ্ন 4 O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি ও 8 সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা আছে। যদি ছোটো জ্যা-টির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি হয়, তবে বড়ো জ্যা-টির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছোটো জ্যাটি হলো AB = 6 সেমি এবং বড়ো জ্যাটি হলো CD = 8 সেমি।

O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব (লম্ব OM) = 4 সেমি এবং CD জ্যা-এর দূরত্ব (লম্ব ON) আমাদের নির্ণয় করতে হবে।

আমরা উপপাদ্য থেকে জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অতএব, AM = AB2 = 62 = 6321 = 3 সেমি। এবং CN = CD2 = 82 = 8421 = 4 সেমি।

প্রথমে সমকোণী ত্রিভুজ ΔOAM থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য (অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²) প্রয়োগ করে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (OA) নির্ণয় করি:

OA² = OM² + AM² বা, OA² = 4² + 3² বা, OA² = 16 + 9 বা, OA² = 25 বা, OA = √25 = 5

অতএব, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 5 সেমি। যেহেতু একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান হয়, তাই OC = OA = 5 সেমি।

এবার সমকোণী ত্রিভুজ ΔOCN থেকে লম্ব ON-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

ON² + CN² = OC² বা, ON² + 4² = 5² বা, ON² + 16 = 25 বা, ON² = 25 – 16 বা, ON² = 9 বা, ON = √9 = 3 উত্তর: বড়ো জ্যা-টির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি।

প্রশ্ন 5 যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি এবং কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি, সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, বৃত্তটির কেন্দ্র O এবং প্রথম জ্যাটি হলো AB।

দেওয়া আছে, AB জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 48 সেমি। কেন্দ্র O থেকে AB-এর দূরত্ব (ধরি লম্বটি OM) = 7 সেমি।

আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমান দু’ভাগে ভাগ করে (সমদ্বিখণ্ডিত করে)।

অতএব, AM = AB2 = 482 = 482421 = 24 সেমি।

সমকোণী ত্রিভুজ ΔOAM থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য (অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²) প্রয়োগ করে প্রথমে বৃত্তের ব্যাসার্ধ (OA) নির্ণয় করি:

OA² = OM² + AM² বা, OA² = 7² + 24² বা, OA² = 49 + 576 বা, OA² = 625 বা, OA = √625 = 25

তাহলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলো 25 সেমি। অর্থাৎ, বৃত্তের যেকোনো ব্যাসার্ধ (যেমন OC) = 25 সেমি হবে।

এবার ধরি, দ্বিতীয় জ্যাটি হলো CD, যার কেন্দ্র থেকে দূরত্ব (লম্ব ON) = 20 সেমি।

সমকোণী ত্রিভুজ ΔOCN থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে ভূমি (CN) নির্ণয় করি:

ON² + CN² = OC² বা, 20² + CN² = 25² বা, 400 + CN² = 625 বা, CN² = 625 – 400 বা, CN² = 225 বা, CN = √225 = 15

যেহেতু ON লম্বটি CD জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে, তাই সম্পূর্ণ জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য হবে CN-এর দ্বিগুণ।

অতএব, দ্বিতীয় জ্যা-এর দৈর্ঘ্য (CD) = 2 × 15 = 30 সেমি। উত্তর: নির্ণেয় দ্বিতীয় জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি হবে।

প্রশ্ন 6 O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি হলে, CD জ্যা-এর দূরত্ব কত হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

জ্যামিতির উপপাদ্য থেকে আমরা জানি যে, “কোনো বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যাগুলি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সর্বদা সমদূরবর্তী হয়।”

এখানে দেওয়া আছে, বৃত্তের জ্যা AB এবং জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান (অর্থাৎ, AB = CD)।

বৃত্তের কেন্দ্র O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব (লম্ব OM) = 4 সেমি।

যেহেতু জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, তাই কেন্দ্র O থেকে তাদের লম্ব দূরত্বও সমান হবে।

অতএব, O বিন্দু থেকে CD জ্যা-এর দূরত্ব (লম্ব ON) = OM = 4 সেমি। উত্তর: CD জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি হবে।

প্রশ্ন 7 একটি সরলরেখা দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC = BD।

প্রমাণ:

ধরি, সমকেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটির কেন্দ্র হলো O।

প্রদত্ত সরলরেখাটি বাইরের বড়ো বৃত্তটিকে A ও B বিন্দুতে এবং ভেতরের ছোটো বৃত্তটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। অর্থাৎ, বিন্দুগুলির ক্রম হলো A, C, D, B।

প্রমাণের সুবিধার জন্য, কেন্দ্র O বিন্দু থেকে ছেদকারী সরলরেখাটির (বা AB জ্যা-এর) ওপর OM লম্ব অঙ্কন করা হলো।

আমরা জ্যামিতির উপপাদ্য থেকে জানি, “বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।”

প্রথমে বাইরের বড়ো বৃত্তের ক্ষেত্রে বিবেচনা করি:

এখানে AB হলো বৃত্তটির একটি জ্যা এবং OM ⊥ AB।

অতএব, AM = MB ………… (i) নং সমীকরণ

এবার ভেতরের ছোটো বৃত্তের ক্ষেত্রে বিবেচনা করি:

এখানে CD হলো বৃত্তটির একটি জ্যা এবং OM ⊥ CD।

অতএব, CM = MD ………… (ii) নং সমীকরণ

এখন, (i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,

AM – CM = MB – MD

চিত্র থেকে স্পষ্টভাবে দেখা যাচ্ছে যে, (AM – CM) করলে AC অংশটি অবশিষ্ট থাকে এবং (MB – MD) করলে BD অংশটি অবশিষ্ট থাকে।

অতএব, AC = BD প্রমাণিত।

প্রশ্ন 8 প্রমাণ করি যে, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না তারা উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।

প্রমাণ:

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB এবং CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং তারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।

অর্থাৎ, AP = PB এবং CP = PD। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, AB এবং CD উভয়েই বৃত্তের ব্যাস।

আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস হলো সেই জ্যা যা কেন্দ্র দিয়ে যায়। সুতরাং, আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ছেদবিন্দু P এবং কেন্দ্র O একই বিন্দু (P = O)।

অঙ্কন: O, P যুক্ত করা হলো।

যুক্তি (Contradiction Method):

ধরি, P বিন্দুটি কেন্দ্র O-এর সাথে সমাপতিত নয়, অর্থাৎ P এবং O দুটি আলাদা বিন্দু।

যেহেতু AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু P, তাই জ্যামিতির উপপাদ্য অনুসারে কেন্দ্রগামী সরলরেখা OP, AB জ্যা-এর ওপর লম্ব হবে।

অতএব, OP ⊥ AB ⇒ ∠OPB = 90°

একইভাবে, যেহেতু CD জ্যা-এর মধ্যবিন্দু P, তাই OP, CD জ্যা-এর ওপর লম্ব হবে।

অতএব, OP ⊥ CD ⇒ ∠OPD = 90°

এর অর্থ হলো, OP সরলরেখার ওপর একই বিন্দু P-তে AB এবং CD দুটি আলাদা সরলরেখাই লম্ব। কিন্তু জ্যামিতিক নিয়মানুসারে, একটি সরলরেখার ওপর অবস্থিত কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেবলমাত্র একটিই লম্ব অঙ্কন করা সম্ভব।

সুতরাং, AB এবং CD আলাদা কোনো সরলরেখা হতে পারে না, যা প্রদত্ত শর্তের (দুটি পরস্পরছেদী জ্যা) পরিপন্থী।

অতএব, আমাদের ধরে নেওয়া শর্তটি (যে P এবং O দুটি আলাদা বিন্দু) সম্পূর্ণ ভুল।

সুতরাং, P বিন্দুটি অবশ্যই কেন্দ্র O-এর সাথে সমাপতিত হবে। অর্থাৎ, P এবং O একই বিন্দু।

যেহেতু জ্যা দুটির ছেদবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্র, তাই জ্যা দুটি অবশ্যই বৃত্তের কেন্দ্রগামী। আর আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা-কেই ব্যাস বলা হয়।

অতএব, AB এবং CD উভয়েই বৃত্তের ব্যাস। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 9 X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY-এর মধ্যবিন্দু S এর সাথে A যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে, PA = AQ।

প্রমাণ:

অঙ্কন: X বিন্দু থেকে PA জ্যা-এর ওপর XC লম্ব অঙ্কন করা হলো এবং Y বিন্দু থেকে AQ জ্যা-এর ওপর YD লম্ব অঙ্কন করা হলো।

যুক্তি:

X কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রে, PA হলো একটি জ্যা এবং XC ⊥ PA।

আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সুতরাং, C হলো PA-এর মধ্যবিন্দু।

অতএব, PC = CA বা, PA = 2CA ………… (i) নং সমীকরণ

একইভাবে, Y কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রে, AQ হলো একটি জ্যা এবং YD ⊥ AQ।

সুতরাং, D হলো AQ-এর মধ্যবিন্দু।

অতএব, AD = DQ বা, AQ = 2AD ………… (ii) নং সমীকরণ

এখন, প্রদত্ত শর্তানুযায়ী SA ⊥ PQ। আবার আমরা অঙ্কন করেছি XC ⊥ PQ এবং YD ⊥ PQ।

যেহেতু একই সরলরেখার (PQ) ওপর তিনটি লম্ব (XC, SA, YD) অবস্থিত, তাই তারা পরস্পর সমান্তরাল হবে।

অর্থাৎ, XC || SA || YD।

এখন, CDYX একটি চতুর্ভুজ (যাকে ট্রাপিজিয়াম বলা যায়), যার অসমান্তরাল বাহু দুটি হলো XY এবং CD।

প্রদত্ত শর্তানুসারে, S হলো XY-এর মধ্যবিন্দু।

জ্যামিতির একটি বিশেষ ধর্ম অনুযায়ী, “কোনো ট্রাপিজিয়ামের একটি তির্যক বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল করে কোনো সরলরেখা অঙ্কন করলে তা অপর তির্যক বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।”

এখানে S হলো XY-এর মধ্যবিন্দু এবং SA সরলরেখাটি সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের (XC ও YD) সমান্তরাল।

সুতরাং, SA সরলরেখাটি অপর বাহু CD-কে সমদ্বিখণ্ডিত করবে। অর্থাৎ, A বিন্দুটি CD-এর মধ্যবিন্দু হবে।

অতএব, CA = AD ………… (iii) নং সমীকরণ

এখন, (iii) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই,

2CA = 2AD

(i) এবং (ii) নং সমীকরণ থেকে 2CA এবং 2AD-এর মান বসিয়ে পাই,

PA = AQ প্রমাণিত।

প্রশ্ন 10 O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি ও 24 সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা AB ও CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD জ্যা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 17 সেমি হয়, তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি। Madhyamik 2022 (Similar Type)

সমাধান:

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r সেমি।

বৃত্তের কেন্দ্র O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর ওপর লম্ব OM এবং CD জ্যা-এর ওপর লম্ব ON অঙ্কন করা হলো।

যেহেতু জ্যা দুটি সমান্তরাল এবং কেন্দ্রের বিপরীত দিকে অবস্থিত, তাই M, O এবং N বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় (সমরেখ) অবস্থিত হবে।

প্রশ্নানুসারে, জ্যা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব MN = 17 সেমি।

ধরি, OM = x সেমি। তাহলে, ON = (17 – x) সেমি।

আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অতএব, AM = AB2 = 102 = 10521 = 5 সেমি। এবং CN = CD2 = 242 = 241221 = 12 সেমি।

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ΔAOM থেকে পিthaগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই,

OM² + AM² = OA² x² + 5² = r² বা, r² = x² + 25 ………… (i) নং সমীকরণ

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ΔCON থেকে পিthaগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই,

ON² + CN² = OC² (17 – x)² + 12² = r² বা, r² = (17)² – 2(17)(x) + x² + 144 বা, r² = 289 – 34x + x² + 144 বা, r² = x² – 34x + 433 ………… (ii) নং সমীকরণ

(i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই (যেহেতু উভয়েই r² এর মান),

x² + 25 = x² – 34x + 433

উভয়পক্ষ থেকে x² বাদ দিয়ে পাই,

25 = -34x + 433 বা, 34x = 433 – 25 বা, 34x = 408 বা, x = 40834

34 দিয়ে 408 কে কাটাকুটি করে পাই—

বা, x = 40812341 = 12

এখন, x-এর এই মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে ব্যাসার্ধ r-এর মান নির্ণয় করি,

r² = (12)² + 25 বা, r² = 144 + 25 বা, r² = 169 বা, r = √169 = 13 উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।

প্রশ্ন 11 O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি সমান্তরাল জ্যা AB এবং CD-এর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সেমি ও 24 সেমি। জ্যা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 17 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি, যখন জ্যা দুটি কেন্দ্রের একই পার্শ্বে অবস্থিত।

সমাধান:

ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য = r সেমি।

বৃত্তের কেন্দ্র O বিন্দু থেকে সমান্তরাল জ্যা AB এবং CD-এর ওপর যথাক্রমে OM এবং ON লম্ব অঙ্কন করা হলো।

যেহেতু জ্যা দুটি পরস্পর সমান্তরাল এবং কেন্দ্রের একই পাশে অবস্থিত, তাই O, N এবং M বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায় (সমরেখ) অবস্থিত হবে এবং N বিন্দুটি O ও M বিন্দুর মধ্যবর্তী স্থানে থাকবে।

প্রশ্নানুসারে, জ্যা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব NM = 17 সেমি।

ধরি, কেন্দ্র থেকে বড়ো জ্যা CD-এর দূরত্ব ON = x সেমি।

তাহলে, কেন্দ্র থেকে ছোটো জ্যা AB-এর দূরত্ব OM = ON + NM = (x + 17) সেমি।

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অতএব, CN = CD2 = 242 = 241221 = 12 সেমি। এবং AM = AB2 = 102 = 10521 = 5 সেমি।

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ΔCON থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই,

ON² + CN² = OC² x² + 12² = r² বা, r² = x² + 144 ………… (i) নং সমীকরণ

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ΔAOM থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই,

OM² + AM² = OA² (x + 17)² + 5² = r² বা, r² = x² + 2(x)(17) + (17)² + 25 বা, r² = x² + 34x + 289 + 25 বা, r² = x² + 34x + 314 ………… (ii) নং সমীকরণ

(i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই (যেহেতু উভয়েই r² এর মান),

x² + 144 = x² + 34x + 314

উভয়পক্ষ থেকে x² বাদ দিয়ে পাই,

144 = 34x + 314 বা, -34x = 314 – 144 বা, -34x = 170 বা, 34x = -170 বা, x = –17034

34 দিয়ে 170 কে কাটাকুটি করে পাই—

বা, x = –1705341 = -5

জ্যামিতিক দূরত্ব কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না। এখানে x-এর মান ঋণাত্মক আসার অর্থ হলো, জ্যা দুটি কেন্দ্রের একই পাশে অবস্থিত হওয়া সম্ভব নয় (বাস্তবে তারা কেন্দ্রের বিপরীত পাশেই অবস্থিত, যা আমরা ১০ দাগের অংকে প্রমাণ করেছি)। কিন্তু যেহেতু প্রশ্নানুযায়ী আমাদের গাণিতিক মান বের করতে হবে, তাই আমরা চিহ্নের নিরপেক্ষ মান (Absolute value) x = 5 ব্যবহার করব।

এখন, x = 5 মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে ব্যাসার্ধ r-এর মান নির্ণয় করি,

r² = (5)² + 144 বা, r² = 25 + 144 বা, r² = 169 বা, r = √169 = 13 উত্তর: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।

প্রশ্ন 12 O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC দুটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য সমান। প্রমাণ করি যে, OA সরলরেখা ∠BAC -কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং AC দুটি জ্যা, যাদের দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান। অর্থাৎ, AB = AC। O এবং A বিন্দু যুক্ত করা হলো।

প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, OA সরলরেখা ∠BAC -কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। অর্থাৎ, ∠OAB = ∠OAC।

অঙ্কন: বৃত্তের কেন্দ্র O-এর সাথে B এবং C বিন্দু যুক্ত করা হলো (OB এবং OC অঙ্কন করা হলো)।

যুক্তি (প্রমাণ):

এখন, ΔOAB এবং ΔOAC ত্রিভুজ দুটির মধ্যে তুলনা করে পাই—

(i) AB = AC (প্রদত্ত শর্তানুসারে) (ii) OB = OC (উভয়েই একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) (iii) OA হলো উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু (Common side)

যেহেতু একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সাথে সমান, তাই ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে (SSS বা বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা শর্তানুযায়ী)।

অতএব, ΔOAB ≅ ΔOAC

আমরা জানি, সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সর্বদা সমান হয়।

সুতরাং, ∠OAB = ∠OAC (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ)

যেহেতু কোণ দুটি পরস্পর সমান, তার মানে হলো OA সরলরেখাটি পুরো ∠BAC কোণটিকে সমান দুটি ভাগে ভাগ করেছে।

অতএব, OA সরলরেখা ∠BAC -কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। প্রমাণিত।

প্রশ্ন 13 O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB এবং CD। কেন্দ্র O থেকে AB এবং CD জ্যা-এর উপর যথাক্রমে OM এবং ON লম্ব। যদি OM = ON হয়, তবে প্রমাণ করি যে AB = CD।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা হলো AB এবং CD। কেন্দ্র O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর ওপর OM লম্ব এবং CD জ্যা-এর ওপর ON লম্ব টানা হয়েছে। দেওয়া আছে যে, কেন্দ্র থেকে জ্যা দুটির লম্ব দূরত্ব সমান, অর্থাৎ OM = ON।

প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান। অর্থাৎ, AB = CD।

অঙ্কন: কেন্দ্র O-এর সাথে A বিন্দু এবং কেন্দ্র O-এর সাথে C বিন্দু যুক্ত করা হলো (OA এবং OC অঙ্কন করা হলো)।

যুক্তি (প্রমাণ):

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ ΔOAM এবং সমকোণী ত্রিভুজ ΔOCN -এর মধ্যে তুলনা করে পাই—

(i) অতিভুজ OA = অতিভুজ OC (কারণ তারা উভয়েই একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ) (ii) OM = ON (প্রদত্ত শর্তানুসারে) (iii) ∠OMA = ∠ONC = 90° (যেহেতু OM ⊥ AB এবং ON ⊥ CD)

অতএব, সমকোণী ত্রিভুজের সর্বসমতার শর্ত (R-H-S) অনুযায়ী, ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।

সুতরাং, ΔOAM ≅ ΔOCN

যেহেতু সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমান হয়, তাই—

AM = CN ………… (১) নং সমীকরণ

আবার আমরা উপপাদ্য থেকে জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর লম্ব অঙ্কন করলে তা ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

যেহেতু OM ⊥ AB, তাই M হলো AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ, AB = 2AM।

একইভাবে, যেহেতু ON ⊥ CD, তাই N হলো CD জ্যা-এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ, CD = 2CN।

এখন, (১) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই—

2AM = 2CN বা, AB = CD প্রমাণিত।

প্রশ্ন 14 প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা হলো AB এবং CD। কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব OM এবং CD জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব ON।

দেওয়া আছে, AB জ্যা-টি CD জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটবর্তী। অর্থাৎ, OM < ON।

প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা-টির দৈর্ঘ্য বড়ো। অর্থাৎ, AB > CD।

অঙ্কন: কেন্দ্র O-এর সাথে A বিন্দু এবং কেন্দ্র O-এর সাথে C বিন্দু যুক্ত করা হলো (OA এবং OC অঙ্কন করা হলো)।

যুক্তি (প্রমাণ):

যেহেতু OM ⊥ AB এবং ON ⊥ CD, তাই ΔOAM এবং ΔOCN দুটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলো r। অতএব, OA = OC = r।

সমকোণী ত্রিভুজ ΔOAM থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই—

OA² = OM² + AM² বা, r² = OM² + AM² বা, AM² = r² – OM² ………… (i) নং সমীকরণ

একইভাবে, সমকোণী ত্রিভুজ ΔOCN থেকে পাই—

OC² = ON² + CN² বা, r² = ON² + CN² বা, CN² = r² – ON² ………… (ii) নং সমীকরণ

এখন, প্রদত্ত শর্তানুসারে, OM < ON

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

OM² < ON²

উভয়পক্ষকে (-) দ্বারা গুণ করলে অসমতার (Inequality) চিহ্ন পাল্টে যায়,

-OM² > -ON²

উভয়পক্ষে r² যোগ করে পাই,

r² – OM² > r² – ON²

(i) এবং (ii) নং সমীকরণ থেকে মান বসিয়ে পাই,

AM² > CN² বা, AM > CN

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই, AB = 2AM এবং CD = 2CN।

এখন, AM > CN অসমতার উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই,

2AM > 2CN বা, AB > CD প্রমাণিত।

প্রশ্ন 15 প্রমাণ করি যে, বৃত্তের দুটি জ্যা-এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটবর্তী।

প্রমাণ:

প্রদত্ত: ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা হলো AB এবং CD। দেওয়া আছে যে, AB জ্যা-টি CD জ্যা-এর চেয়ে বড়ো। অর্থাৎ, AB > CD।

বৃত্তের কেন্দ্র O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর ওপর OM লম্ব এবং CD জ্যা-এর ওপর ON লম্ব অঙ্কন করা হলো।

প্রামাণ্য বিষয়: প্রমাণ করতে হবে যে, বৃহত্তর জ্যা AB, ক্ষুদ্রতর জ্যা CD অপেক্ষা কেন্দ্রের বেশি নিকটবর্তী। অর্থাৎ, প্রমাণ করতে হবে OM < ON।

অঙ্কন: কেন্দ্র O-এর সাথে A বিন্দু এবং কেন্দ্র O-এর সাথে C বিন্দু যুক্ত করা হলো (OA এবং OC অঙ্কন করা হলো)।

যুক্তি (প্রমাণ):

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

যেহেতু OM ⊥ AB, তাই M হলো AB-এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ, AM = 12AB।

একইভাবে, যেহেতু ON ⊥ CD, তাই N হলো CD-এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ, CN = 12CD।

প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, AB > CD

উভয়পক্ষকে 12 দিয়ে গুণ করে পাই,

12AB > 12CD বা, AM > CN

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

AM² > CN² ………… (i) নং সমীকরণ

এখন, ΔOAM একটি সমকোণী ত্রিভুজ। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই—

OA² = OM² + AM² বা, AM² = OA² – OM²

একইভাবে, সমকোণী ত্রিভুজ ΔOCN থেকে পাই—

OC² = ON² + CN² বা, CN² = OC² – ON²

ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলো r। অর্থাৎ, OA = OC = r। মানগুলো বসালে আমরা পাই:

AM² = r² – OM² এবং CN² = r² – ON²

এই মান দুটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

r² – OM² > r² – ON²

উভয়পক্ষ থেকে r² বাদ দিয়ে পাই,

-OM² > -ON²

উভয়পক্ষকে (-) দ্বারা গুণ করলে অসমতার (Inequality) দিক পাল্টে যায়। তাই আমরা পাই,

OM² < ON² বা, OM < ON

এর অর্থ হলো, কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব (OM), CD জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব (ON) অপেক্ষা কম। অর্থাৎ, বৃহত্তর জ্যা-টি কেন্দ্রের বেশি নিকটবর্তী।

প্রমাণিত।

প্রশ্ন (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সেমি। O বিন্দু থেকে জ্যা AB এর লম্ব দূরত্ব 6 সেমি হলে জ্যা AB এর দৈর্ঘ্য— Madhyamik 2024 (Similar)

(a) 16 সেমি      (b) 12 সেমি      (c) 8 সেমি      (d) 4 সেমি

সমাধান: পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী জ্যা-এর অর্ধেকের দৈর্ঘ্য = √10² – 6² = √100 – 36 = √64 = 8 সেমি। অতএব, সম্পূর্ণ জ্যা AB = 2 × 8 = 16 সেমি।

প্রশ্ন (ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD, কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। AB = 8 সেমি হলে CD এর দৈর্ঘ্য—

(a) 4 সেমি      (b) 6 সেমি      (c) 8 সেমি      (d) 10 সেমি

সমাধান: আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যা-গুলোর দৈর্ঘ্য সমান হয়। তাই CD = AB = 8 সেমি।

প্রশ্ন (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 13 সেমি। AB জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব—

(a) 12 সেমি      (b) 15 সেমি      (c) 24 সেমি      (d) 8 সেমি

সমাধান: জ্যা-এর অর্ধেক = 5 সেমি। লম্ব দূরত্ব = √13² – 5² = √169 – 25 = √144 = 12 সেমি।

প্রশ্ন (iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা। O থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে p ও q। যদি AB > CD হয়, তবে—

(a) p > q      (b) p = q      (c) p < q      (d) কোনোটিই নয়

সমাধান: আমরা উপপাদ্যে প্রমাণ করেছি যে বৃহত্তর জ্যা কেন্দ্রের নিকটবর্তী হয়। যেহেতু AB > CD, তাই AB কেন্দ্রের বেশি কাছে থাকবে। অর্থাৎ এর লম্ব দূরত্ব কম হবে। সুতরাং p < q।

প্রশ্ন (v) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD। O থেকে AB ও CD এর দূরত্ব p ও q। যদি p = q হয়, তবে—

(a) AB > CD      (b) AB < CD      (c) AB = CD      (d) কোনোটিই নয়

সমাধান: কেন্দ্র থেকে জ্যা-দুটির লম্ব দূরত্ব সমান (p = q) হলে জ্যা-দুটির দৈর্ঘ্যও পরস্পর সমান হয়। তাই AB = CD।

প্রশ্ন (i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

সমাধান: তিনটি সমরেখ (একই সরলরেখায় অবস্থিত) বিন্দু দিয়ে কখনোই বৃত্ত আঁকা সম্ভব নয়। বৃত্ত আঁকতে অসমরেখ বিন্দু প্রয়োজন।

প্রশ্ন (ii) বৃত্তের দুটি জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হলে তারা পরস্পর সমান হবে।

সমাধান: এটি বৃত্ত সম্পর্কিত একটি প্রমাণিত উপপাদ্য।

প্রশ্ন (i) বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হলো বৃত্তের _________।

প্রশ্ন (ii) বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো _________।

প্রশ্ন (iii) বৃত্তের দুটি জ্যা সমান হলে কেন্দ্র থেকে তাদের দূরত্ব _________ হবে।

প্রশ্ন (i) O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 10 সেমি। 12 সেমি ও 16 সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা কেন্দ্রের একই পার্শ্বে অবস্থিত। জ্যা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত নির্ণয় করি।

সমাধান:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10 সেমি।

12 সেমি জ্যা-এর অর্ধেক = 6 সেমি। কেন্দ্র থেকে এর দূরত্ব = √10² – 6² = √64 = 8 সেমি।

16 সেমি জ্যা-এর অর্ধেক = 8 সেমি। কেন্দ্র থেকে এর দূরত্ব = √10² – 8² = √36 = 6 সেমি।

যেহেতু জ্যা দুটি কেন্দ্রের একই পাশে অবস্থিত, তাই তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের লম্ব দূরত্বের বিয়োগফল।

দূরত্ব = 8 – 6 = 2 সেমি।

প্রশ্ন (ii) একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত? Madhyamik 2022

সমাধান:

যেহেতু ∠BAC = 90° (জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব), তাই এটি একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। সুতরাং, BC হলো বৃত্তটির ব্যাস।

সমকোণী ΔABC থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ (ব্যাস BC)-এর মান নির্ণয় করি:

BC² = AB² + AC² বা, BC² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 বা, BC = √25 = 5

বৃত্তের ব্যাস 5 সেমি হলে, ব্যাসার্ধ = 52 = 2.5 সেমি।

প্রশ্ন (iii) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি এবং 3 সেমি। বৃহত্তর বৃত্তের যে জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে স্পর্শ করে তার দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ক্ষুদ্রতর বৃত্তের স্পর্শক মানে হলো, কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর লম্ব দূরত্বটি ক্ষুদ্রতর বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান (অর্থাৎ 3 সেমি)।

আর বৃহত্তর বৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো 5 সেমি।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই, জ্যা-এর অর্ধেক = √5² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4 সেমি।

সুতরাং, সম্পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2 × 4 = 8 সেমি।

প্রশ্ন (iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি সমান জ্যা AB ও CD। ∠AOB = 60° এবং CD = 6 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:

যেহেতু AB এবং CD সমান জ্যা, তাই AB = CD = 6 সেমি।

ΔAOB ত্রিভুজে OA = OB (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)। তাই ∠OAB = ∠OBA।

আবার ∠AOB = 60° দেওয়ায় বাকি দুটি কোণের যোগফল = 120°। সুতরাং প্রতিটি কোণ = 60°।

যেহেতু ΔAOB-এর তিনটি কোণই 60°, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

অতএব, OA = OB = AB = 6 সেমি।