কষে দেখি-1.5 | Class-10 | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation with one variable) | দশম শ্রেণী|

প্রশ্ন (i) 2x² + 7x + 3 = 0

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:

a = 2, b = 7, c = 3

নিরূপক = b² – 4ac = (7)² – 4(2)(3)

= 49 – 24 = 25

যেহেতু নিরূপক > 0 (ধনাত্মক), তাই সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।

প্রশ্ন (ii) 3x² – 2√6x + 2 = 0

সমাধান:

সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:

a = 3, b = -2√6, c = 2

নিরূপক = b² – 4ac = (-2√6)² – 4(3)(2)

= (4 × 6) – 24 = 24 – 24 = 0

যেহেতু নিরূপক = 0, তাই সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

প্রশ্ন (iii) 2x² – 7x + 9 = 0

সমাধান:

তুলনা করে পাই: a = 2, b = -7, c = 9

নিরূপক = b² – 4ac = (-7)² – 4(2)(9)

= 49 – 72 = -23

যেহেতু নিরূপক < 0 (ঋণাত্মক), তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না।

প্রশ্ন (iv) 25x² – 23x + 1 = 0

সমাধান:

তুলনা করে পাই: a = 25, b = –23, c = 1

নিরূপক = b² – 4ac = (-23)² – 4(25)(1)

= 49 – 85 = 20 – 7245 = –5245

যেহেতু নিরূপক < 0 (ঋণাত্মক), তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না।

প্রশ্ন (i) 49x² + kx + 1 = 0

সমাধান:

এখানে a = 49, b = k, c = 1

শর্তানুসারে, b² – 4ac = 0

বা, k² – 4(49)(1) = 0 বা, k² – 196 = 0 বা, k² = 196 বা, k = ±√196 = ±14

প্রশ্ন (ii) 3x² – 5x + 2k = 0

সমাধান:

এখানে a = 3, b = -5, c = 2k

শর্তানুসারে, b² – 4ac = 0

বা, (-5)² – 4(3)(2k) = 0 বা, 25 – 24k = 0 বা, 24k = 25 বা, k = 2524

প্রশ্ন (iii) 9x² – 24x + k = 0

সমাধান:

এখানে a = 9, b = -24, c = k

শর্তানুসারে, b² – 4ac = 0

বা, (-24)² – 4(9)(k) = 0 বা, 576 – 36k = 0 বা, 36k = 576 বা, k = 57636 = 16

প্রশ্ন (iv) 2x² + 3x + k = 0

সমাধান:

এখানে a = 2, b = 3, c = k

শর্তানুসারে, b² – 4ac = 0

বা, (3)² – 4(2)(k) = 0 বা, 9 – 8k = 0 বা, 8k = 9 বা, k = 98

প্রশ্ন (v) x² – 2(5 + 2k)x + 3(7 + 10k) = 0

সমাধান:

এখানে a = 1, b = -2(5 + 2k), c = 3(7 + 10k)

শর্তানুসারে, b² – 4ac = 0

বা, {-2(5 + 2k)}² – 4(1){3(7 + 10k)} = 0 বা, 4(25 + 20k + 4k²) – 12(7 + 10k) = 0

সমীকরণটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, (25 + 20k + 4k²) – 3(7 + 10k) = 0 বা, 4k² + 20k + 25 – 21 – 30k = 0 বা, 4k² – 10k + 4 = 0

সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, 2k² – 5k + 2 = 0 বা, 2k² – 4k – k + 2 = 0 বা, 2k(k – 2) – 1(k – 2) = 0 বা, (k – 2)(2k – 1) = 0

হয়, k – 2 = 0 ⇒ k = 2

অথবা, 2k – 1 = 0 ⇒ k = 12

প্রশ্ন (vi) (3k + 1)x² + 2(k + 1)x + k = 0

সমাধান:

এখানে a = (3k + 1), b = 2(k + 1), c = k

শর্তানুসারে, b² – 4ac = 0

বা, {2(k + 1)}² – 4(3k + 1)(k) = 0 বা, 4(k² + 2k + 1) – 4(3k² + k) = 0

সমীকরণটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, k² + 2k + 1 – 3k² – k = 0 বা, -2k² + k + 1 = 0

উভয়পক্ষকে (-) দিয়ে গুণ করে পাই—

বা, 2k² – k – 1 = 0 বা, 2k² – 2k + k – 1 = 0 বা, 2k(k – 1) + 1(k – 1) = 0 বা, (k – 1)(2k + 1) = 0

হয়, k – 1 = 0 ⇒ k = 1

অথবা, 2k + 1 = 0 ⇒ 2k = -1 ⇒ k = –12

প্রশ্ন (i) 4, 2 Madhyamik 2022 (Similar Type)

সমাধান:

এখানে বীজদ্বয় হলো 4 এবং 2।

বীজদ্বয়ের যোগফল = 4 + 2 = 6 বীজদ্বয়ের গুণফল = 4 × 2 = 8

নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:

x² – (6)x + (8) = 0

প্রশ্ন (ii) -4, -3

সমাধান:

বীজদ্বয়ের যোগফল = -4 + (-3) = -4 – 3 = -7 বীজদ্বয়ের গুণফল = (-4) × (-3) = 12

নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:

x² – (-7)x + (12) = 0

প্রশ্ন (iii) -4, 3

সমাধান:

বীজদ্বয়ের যোগফল = -4 + 3 = -1 বীজদ্বয়ের গুণফল = (-4) × 3 = -12

নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:

x² – (-1)x + (-12) = 0

প্রশ্ন (iv) 5, -3

সমাধান:

বীজদ্বয়ের যোগফল = 5 + (-3) = 5 – 3 = 2 বীজদ্বয়ের গুণফল = 5 × (-3) = -15

নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:

x² – (2)x + (-15) = 0

প্রশ্ন 4 m-এর কোন্ মানের জন্য 4x² + 4(3m – 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে নির্ণয় করি। Madhyamik 2024 (Similar Type)

সমাধান:

ধরি, সমীকরণটির একটি বীজ α

যেহেতু বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক, তাই অপর বীজটি হবে 1α

আমরা জানি, বীজদ্বয়ের গুণফল = ca

সুতরাং, α × 1α = m + 74 বা, 1 = m + 74

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, m + 7 = 4 বা, m = 4 – 7 বা, m = -3

প্রশ্ন 5 (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ করি যে, 2b = a + c

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটিকে Ax² + Bx + C = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

A = (b – c),   B = (c – a),   C = (a – b)

যেহেতু সমীকরণটির বীজদ্বয় সমান, তাই নিরূপক শূন্য (0) হবে। অর্থাৎ, B² – 4AC = 0

(c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0

বর্গ ও গুণ করে পাই—

বা, c² – 2ca + a² – 4(ab – b² – ca + bc) = 0 বা, c² – 2ca + a² – 4ab + 4b² + 4ca – 4bc = 0

সাজিয়ে লিখে পাই—

বা, a² + c² + 4b² + 2ca – 4ab – 4bc = 0 বা, a² + c² + (-2b)² + 2(a)(c) + 2(a)(-2b) + 2(c)(-2b) = 0

এটি (x + y + z)² -এর সূত্রে পড়ে যায়—

বা, (a + c – 2b)² = 0 বা, a + c – 2b = 0 বা, a + c = 2b বা, 2b = a + c

প্রশ্ন 6 (a² + b²)x² – 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে প্রমাণ করি যে, ab = cd

সমাধান:

এখানে, A = (a² + b²),   B = -2(ac + bd),   C = (c² + d²)

যেহেতু বীজদ্বয় সমান, তাই নিরূপক = 0

B² – 4AC = 0 বা, {-2(ac + bd)}² – 4(a² + b²)(c² + d²) = 0 বা, 4(ac + bd)² – 4(a²c² + a²d² + b²c² + b²d²) = 0

পুরো সমীকরণটিকে 4 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, (a²c² + 2abcd + b²d²) – (a²c² + a²d² + b²c² + b²d²) = 0 বা, a²c² + 2abcd + b²d² – a²c² – a²d² – b²c² – b²d² = 0

সমান পদগুলো কেটে দিলে থাকে—

বা, -a²d² + 2abcd – b²c² = 0

উভয়পক্ষকে (-) দিয়ে গুণ করে পাই—

বা, a²d² – 2abcd + b²c² = 0 বা, (ad)² – 2(ad)(bc) + (bc)² = 0 বা, (ad – bc)² = 0 বা, ad – bc = 0 বা, ad = bc

কোণাকুণি সাজিয়ে লিখে পাই—

বা, ab = cd

প্রশ্ন 7 প্রমাণ করি যে, 2(a² + b²)x² + 2(a + b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না, যদি a ≠ b হয়।

সমাধান:

এখানে, A = 2(a² + b²),   B = 2(a + b),   C = 1

প্রথমে নিরূপক (B² – 4AC) এর মান বের করি—

নিরূপক = {2(a + b)}² – 4 × 2(a² + b²) × 1 = 4(a² + 2ab + b²) – 8(a² + b²) = 4a² + 8ab + 4b² – 8a² – 8b² = -4a² + 8ab – 4b² = -4(a² – 2ab + b²) = -4(a – b)²

যেহেতু প্রশ্নে দেওয়া আছে a ≠ b, তাই (a – b) এর মান কখনোই শূন্য হবে না। কোনো অশূন্য সংখ্যার বর্গ (Square) সর্বদা ধনাত্মক হয়, অর্থাৎ (a – b)² > 0।

তাহলে, -4 দিয়ে একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে গুণ করলে পুরো নিরূপকের মান সর্বদা ঋণাত্মক (< 0) হবে।

যেহেতু নিরূপক ঋণাত্মক, তাই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ থাকবে না।

প্রশ্ন 8 5x² + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে, নীচের মানগুলি নির্ণয় করি: Madhyamik 2020, 2024 (Similar Type)

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: 5x² + 2x – 3 = 0

আমরা জানি, বীজদ্বয়ের যোগফল (α + β) = –ba = –25

বীজদ্বয়ের গুণফল (αβ) = ca = –35

(i) α² + β² -এর মান:

α² + β² = (α + β)² – 2αβ = (-25)² – 2(-35) = 425 + 65 = 4 + 3025 = 3425

(ii) α³ + β³ -এর মান:

α³ + β³ = (α + β)³ – 3αβ(α + β) = (-25)³ – 3(-35)(-25) = –8125 – 1825 = -8 – 90125 = –98125

(iii) 1α + 1β -এর মান:

1α + 1β = β + ααβ = -2/5-3/5 = 25 × 53 = 23

(iv) α²β + β²α -এর মান:

α²β + β²α = α³ + β³αβ

আমরা (ii) নং থেকে পেয়েছি α³ + β³ = –98125। মান বসিয়ে পাই—

= -98/125-3/5 = 98125 × 53 = 9875

প্রশ্ন 9 ax² + bx + c = 0 সমীকরণের একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে দেখাই যে, 2b² = 9ac

সমাধান:

ধরি, সমীকরণটির একটি বীজ α

যেহেতু একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ, তাই অপর বীজটি হবে 2α

বীজদ্বয়ের যোগফল থেকে পাই:

α + 2α = –ba বা, 3α = –ba বা, α = –b3a ………… (i)

আবার, বীজদ্বয়ের গুণফল থেকে পাই:

α × 2α = ca বা, 2α² = ca

এখন (i) নং থেকে α এর মান এখানে বসিয়ে পাই—

2(–b3a)² = ca বা, 2(b²9a²) = ca বা, 2b²9a² = ca

উভয়পক্ষ থেকে a কেটে দিয়ে কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, 2b²9a = c বা, 2b² = 9ac

প্রশ্ন 10 যে সমীকরণের বীজগুলি x² + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, সেই সমীকরণটি গঠন করি।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: x² + px + 1 = 0

ধরি, এই সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β

তাহলে, α + β = -p এবং αβ = 1

নতুন সমীকরণের বীজগুলি হবে প্রদত্ত সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক, অর্থাৎ 1α এবং 1β

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল:

1α + 1β = β + ααβ = -p1 = -p

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল:

1α × 1β = 1αβ = 11 = 1

নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:

x² – (বীজদ্বয়ের যোগফল)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0 বা, x² – (-p)x + 1 = 0 বা, x² + px + 1 = 0

প্রশ্ন 11 x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: x² + x + 1 = 0

ধরি, এই সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β

তাহলে, α + β = -1 এবং αβ = 1

নতুন সমীকরণের বীজগুলি হবে α² এবং β²

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল:

α² + β² = (α + β)² – 2αβ = (-1)² – 2(1) = 1 – 2 = -1

নতুন সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল:

α²β² = (αβ)² = (1)² = 1

নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:

x² – (α² + β²)x + (α²β²) = 0 বা, x² – (-1)x + 1 = 0 বা, x² + x + 1 = 0

প্রশ্ন (i) x² – 6x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি—

(a) 2      (b) -2      (c) 6      (d) -6

সমাধান: বীজদ্বয়ের সমষ্টি = –x এর সহগx² এর সহগ = –-61 = 6

প্রশ্ন (ii) x² – 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল -2 হলে, k-এর মান—

(a) -2      (b) -8      (c) 8      (d) 12

সমাধান: সমীকরণটি সাজিয়ে পাই, x² – 3x + (k – 10) = 0

বীজদ্বয়ের গুণফল = (k – 10)। শর্তানুসারে, k – 10 = -2 ⇒ k = 10 – 2 = 8

প্রশ্ন (iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b² – 4ac হবে—

(a) > 0      (b) = 0      (c) < 0      (d) কোনোটিই নয়

সমাধান: বাস্তব এবং অসমান হওয়ার শর্ত হলো নিরূপক (b² – 4ac) শূন্যের থেকে বড়ো হতে হবে।

প্রশ্ন (iv) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে—

(a) c = –b2a      (b) c = b2a      (c) c = –b²4a      (d) c = b²4a

সমাধান: বীজদ্বয় সমান হলে b² – 4ac = 0 হয়। বা, 4ac = b² ⇒ c = b²4a

প্রশ্ন (v) 3x² + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, 1α + 1β এর মান—

(a) –38      (b) 23      (c) -4      (d) 4

সমাধান: α + β = –83 এবং αβ = 23

এখন, 1α + 1β = α + βαβ = -8/32/3 = –82 = -4

প্রশ্ন (i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।

সমাধান: নিরূপক = (1)² – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3 < 0। নিরূপক ঋণাত্মক হওয়ায় কোনো বাস্তব বীজ নেই।

প্রশ্ন (ii) x² – x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

সমাধান: নিরূপক = (-1)² – 4(1)(2) = 1 – 8 = -7 < 0। নিরূপক ঋণাত্মক হওয়ায় কোনো বাস্তব বীজ নেই।

প্রশ্ন (i) 7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত ______ Madhyamik 2022

সমাধান: যোগফল = –-667 = 667। গুণফল = 277। অনুপাত = 667 : 277 = 66 : 27 = 22 : 9

প্রশ্ন (ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে c = ______ Madhyamik 2024

সমাধান: বীজদ্বয় অন্যোন্যক হলে তাদের গুণফল 1 হয়। অর্থাৎ ca = 1 ⇒ c = a

প্রশ্ন (iii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে a + c = ______ Madhyamik 2024

সমাধান: বীজদ্বয় অন্যোন্যক ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হলে গুণফল -1 হয়। অর্থাৎ ca = -1 ⇒ c = -a ⇒ a + c = 0

প্রশ্ন (i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে সমীকরণটি লিখি।

সমাধান:

আমরা জানি সমীকরণটি হয়: x² – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + (বীজদ্বয়ের গুণফল) = 0

বা, x² – 14x + 24 = 0

প্রশ্ন (ii) kx² + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে k এর মান লিখি।

সমাধান:

বীজদ্বয়ের সমষ্টি = –2k এবং গুণফল = 3kk = 3

শর্তানুসারে,

–2k = 3 বা, 3k = -2 ⇒ k = –23

প্রশ্ন (iii) x² – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β হলে, α – β এর মান লিখি। Madhyamik 2024 (Similar Type)

সমাধান:

α + β = –-221 = 22 এবং αβ = 105

আমরা জানি, (α – β)² = (α + β)² – 4αβ

বা, (α – β)² = (22)² – 4(105) বা, (α – β)² = 484 – 420 = 64 বা, α – β = ±√64 = ±8

প্রশ্ন (iv) x² – x = K(2x – 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 2 হলে, K-এর মান লিখি। Madhyamik 2023

সমাধান:

সমীকরণটিকে সাধারণ আকারে আনলে—

x² – x = 2Kx – K বা, x² – x – 2Kx + K = 0 বা, x² – (1 + 2K)x + K = 0

বীজদ্বয়ের সমষ্টি = 1 + 2K

শর্তানুসারে,

1 + 2K = 2 বা, 2K = 1 ⇒ K = 12

প্রশ্ন (v) x² + bx + 12 = 0 এবং x² + bx + q = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে q এর মান লিখি।

সমাধান:

যেহেতু 2 হলো প্রথম সমীকরণের একটি বীজ, তাই x = 2 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

(2)² + b(2) + 12 = 0 বা, 4 + 2b + 12 = 0 বা, 2b + 16 = 0 ⇒ 2b = -16 ⇒ b = -8

এবার দ্বিতীয় সমীকরণেও একটি বীজ 2 এবং b-এর মান -8 বসিয়ে পাই—

(2)² + (-8)(2) + q = 0 বা, 4 – 16 + q = 0 বা, -12 + q = 0 ⇒ q = 12