একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
প্রাথমিক ধারণা ও থিওরি
যে গাণিতিক সমীকরণে অজানা রাশির মান প্রকাশ করার জন্য শুধুমাত্র একটি অক্ষর (যেমন: x, y, z, a, b ইত্যাদি) ব্যবহার করা হয়, তাকে ‘একচল’ বলে। আমাদের এই অধ্যায়ে সমীকরণগুলোতে আমরা মূলত একটি চলরাশি (সাধারনত x) দেখতে পাব।
‘ঘাত’ বা ‘Power’ বলতে বোঝায় কোনো চলের মাথার উপরের সংখ্যাটিকে। যদি কোনো সমীকরণে চলের সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার 2 হয়, তবে তাকে ‘দ্বিঘাত’ সমীকরণ বলা হয়।
যেমন: x2 + 5x + 6 = 0, এখানে x-এর সর্বোচ্চ পাওয়ার 2, তাই এটি দ্বিঘাত।
যে সমীকরণে একটিমাত্র চলরাশি থাকে এবং সেই চলরাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়, তাকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।
যেকোনো একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণকে নিচের আকারে লেখা যায়:
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণে যদি a = 0 হয়ে যায়, তবে (0)x2 + bx + c = 0 হবে।
অর্থাৎ, সমীকরণটি দাঁড়াবে: bx + c = 0। এখানে x-এর সর্বোচ্চ পাওয়ার আর 2 নেই, এটি 1 হয়ে গেছে। ফলে এটি আর দ্বিঘাত সমীকরণ থাকে না, এটি একটি ‘রৈখিক সমীকরণ’ বা একঘাত সমীকরণে পরিণত হয়। তাই দ্বিঘাত সমীকরণ হওয়ার প্রধান শর্ত হলো x2 এর সহগ কখনো 0 হতে পারবে না।
ax2 + bx + c = 0 সমীকরণে—
- x2 -এর সহগ = a
- x -এর সহগ = b
- x0 -এর সহগ বা ধ্রুবক পদ (Constant Term) = c
(কারণ আমরা জানি x0 = 1, তাই c কে c × x0 হিসেবে ভাবা যায়)
1 নম্বর প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন: নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি/কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি।
যুক্তি ও বিশ্লেষণ:
প্রদত্ত সংখ্যামালাটিতে একটিমাত্র চলরাশি ‘x’ রয়েছে। এখানে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার হলো 2।
যুক্তি ও বিশ্লেষণ:
প্রথমে সংখ্যামালাটিকে সরল করে পাই:
= 7x5 – x2 – 2xএই সরলীকৃত রূপে দেখা যাচ্ছে, চলরাশি ‘x’-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 5, যা 2-এর চেয়ে বেশি।
যুক্তি ও বিশ্লেষণ:
প্রথমে সংখ্যামালাটিকে সরল করে পাই:
= 2x2 + 10x + 1এই সরলীকৃত রূপে চলরাশি ‘x’-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 2।
যুক্তি ও বিশ্লেষণ:
প্রদত্ত সংখ্যামালাটিতে চলরাশি ‘x’-এর কোনো পাওয়ার বা ঘাত দেওয়া নেই, অর্থাৎ এর ঘাত হলো 1 (যেহেতু 2x = 2x1)। এখানে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 নয়।
2 নম্বর প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন: নীচের সমীকরণগুলির কোনটি ax2 + bx + c = 0, যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি।
সমাধান:
বা, x2 – x + 1x = 6কোণাকুণি গুণ করে পাই—
বা, x2 – x + 1 = 6x বা, x2 – x – 6x + 1 = 0 বা, x2 – 7x + 1 = 0এখানে সমীকরণটি ax2 + bx + c = 0 আকারে আছে। (যেখানে a=1, b=-7, c=1)
সমাধান:
বা, x2 + 3x = x2কোণাকুণি গুণ করে পাই—
বা, x2 + 3 = x3 বা, x3 – x2 – 3 = 0এখানে চলরাশি x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 3 হয়ে গেছে। তাই এটি একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।
সমাধান:
সমীকরণটি হলো: x2 – 6x12 + 2 = 0এখানে চলরাশি x-এর একটি ঘাত ভগ্নাংশ (12)। ax2 + bx + c = 0 সমীকরণে চলের ঘাত অখণ্ড সংখ্যা (0, 1, 2) হতে হয়।
সমাধান:
বামপক্ষকে (a – b)2 এর সূত্রে ভেঙে পাই—
বা, x2 – 2×x×2 + 22 = x2 – 4x + 4 বা, x2 – 4x + 4 = x2 – 4x + 4 বা, x2 – x2 – 4x + 4x + 4 – 4 = 0 বা, 0 = 0যেহেতু উভয়পক্ষ সমান হয়ে সব পদ কেটে শূন্য হয়ে যাচ্ছে, তাই এটি কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ নয়, এটি একটি অভেদ (Identity)।
3 নম্বর প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন: x6 – x3 – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: x6 – x3 – 2 = 0 বা, (x3)2 – (x3) – 2 = 0এখন, ধরি x3 = y, তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়—
y2 – y – 2 = 0দেখা যাচ্ছে, এটি y-এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। যেহেতু y = x3, তাই—
4 নম্বর প্রশ্নের সমাধান
সমাধান:
আমরা জানি, ax2 + bx + c = 0 সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না, যদি x2 -এর সহগ শূন্য (0) হয়।
প্রদত্ত সমীকরণে x2 -এর সহগ = (a – 2)শর্তানুসারে,
a – 2 = 0 বা, a = 2সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: x4 – x = 13x
কোণাকুণি গুণ করে পাই—
x × 3x = 1 × (4 – x) বা, 3x2 = 4 – xসব পদগুলোকে বামদিকে এনে সাজিয়ে পাই—
বা, 3x2 + x – 4 = 0এখন এটি ax2 + bx + c = 0 আকারে চলে এসেছে। এখানে x -এর সহগ হলো 1 (কারণ +x মানে +1 × x)।
সমাধান:
3x2 + 7x + 23 = x(x + 3) + 4(x + 3) + 2 বা, 3x2 + 7x + 23 = x2 + 3x + 4x + 12 + 2 বা, 3x2 + 7x + 23 = x2 + 7x + 14সব পদগুলোকে বামদিকে আনলে—
বা, 3x2 – x2 + 7x – 7x + 23 – 14 = 0 বা, 2x2 + 9 = 0এটিকে সাধারণ রূপে লিখলে দাঁড়ায়:
সমাধান:
আমরা জানি, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
সূত্রটি বামপক্ষে প্রয়োগ করে পাই—
x3 + 3(x2)(2) + 3(x)(22) + 23 = x(x2) – x(1) বা, x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 – xসব পদগুলোকে বামদিকে আনলে—
বা, x3 – x3 + 6x2 + 12x + x + 8 = 0 বা, x31 – x31 + 6x2 + 13x + 8 = 0 বা, 6x2 + 13x + 8 = 0এটাই নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ। এই সমীকরণ থেকে আমরা পাই:
- x2 -এর সহগ: 6
- x -এর সহগ: 13
- x0 -এর সহগ: 8
5 নম্বর প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন: নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
সমাধান:
ধরি, 42-এর একটি অংশ = x
তাহলে অপর অংশটি হবে = (42 – x)
শর্তানুসারে, একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান।
x2 = 42 – xসব পদগুলোকে বামদিকে আনলে—
বা, x2 + x – 42 = 0x2 + x – 42 = 0
সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো দুটি পরপর (ক্রমিক) অযুগ্ম সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য সর্বদা 2 হয় (যেমন: 3 এবং 5, অথবা 7 এবং 9)।
ধরি, প্রথম ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাটি = x
তাহলে এর ঠিক পরের ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যাটি হবে = (x + 2)
শর্তানুসারে, সংখ্যা দুটির গুণফল = 143
x(x + 2) = 143 বা, x2 + 2x = 143143-কে বামদিকে আনলে—
বা, x2 + 2x – 143 = 0x2 + 2x – 143 = 0
সমাধান:
যেকোনো দুটি ক্রমিক (পরপর) সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য সর্বদা 1 হয়।
ধরি, একটি সংখ্যা = x
তাহলে অপর সংখ্যাটি হবে = (x + 1)
শর্তানুসারে, সংখ্যা দুটির বর্গের সমষ্টি 313।
x2 + (x + 1)2 = 313(a + b)2 -এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই—
বা, x2 + x2 + 2x + 1 = 313 বা, 2x2 + 2x + 1 – 313 = 0 বা, 2x2 + 2x – 312 = 0উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই—
বা, x2 + x – 156 = 0x2 + x – 156 = 0
6 নম্বর প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন: নীচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি।
সমাধান:
ধরি, আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ = x মিটার।
তাহলে, দৈর্ঘ্য হবে = (x + 3) মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য2 + প্রস্থ2)
শর্তানুসারে,
√ (x + 3)2 + x2 = 15উভয়পক্ষে বর্গ (Square) করে পাই—
বা, (x + 3)2 + x2 = (15)2 বা, (x2 + 6x + 9) + x2 = 225 বা, 2x2 + 6x + 9 – 225 = 0 বা, 2x2 + 6x – 216 = 0পুরো সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই—
বা, x2 + 3x – 108 = 0x2 + 3x – 108 = 0
সমাধান:
ধরি, ওই ব্যক্তি 80 টাকায় x কিগ্রা চিনি ক্রয় করেছিলেন।
অতএব, 1 কিগ্রা চিনির দাম ছিল = 80x টাকা।
যদি তিনি ওই 80 টাকায় আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন, তবে চিনির পরিমাণ হতো = (x + 4) কিগ্রা।
সেক্ষেত্রে 1 কিগ্রা চিনির দাম হতো = 80x + 4 টাকা।
শর্তানুসারে, আগের দামের তুলনায় নতুন দাম 1 টাকা কম।
80x – 80x + 4 = 1 বা, 80 ( 1x – 1x + 4 ) = 1 বা, 80 ( (x + 4) – xx(x + 4) ) = 1 বা, 80 × 4x2 + 4x = 1 বা, 320x2 + 4x = 1কোণাকুণি গুণ করে পাই—
বা, x2 + 4x = 320 বা, x2 + 4x – 320 = 0x2 + 4x – 320 = 0
সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির সমবেগ ছিল ঘণ্টায় x কিমি.।
অতএব, 300 কিমি. দূরত্ব যেতে ট্রেনটির সময় লেগেছিল = 300x ঘণ্টা। [যেহেতু, সময় = দূরত্ব ÷ বেগ]
যদি ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হতো, তবে নতুন বেগ হতো = (x + 5) কিমি./ঘণ্টা।
সেক্ষেত্রে 300 কিমি. যেতে সময় লাগত = 300x + 5 ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, এই নতুন সময় আগের সময়ের চেয়ে 2 ঘণ্টা কম।
300x – 300x + 5 = 2 বা, 300 ( 1x – 1x + 5 ) = 2 বা, 300 ( (x + 5) – xx(x + 5) ) = 2 বা, 300 × 5x2 + 5x = 2 বা, 1500x2 + 5x = 2কোণাকুণি গুণ করে পাই—
বা, 2(x2 + 5x) = 1500 বা, 2x2 + 10x = 1500পুরো সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই—
বা, x2 + 5x = 750 বা, x2 + 5x – 750 = 0x2 + 5x – 750 = 0
সমাধান:
ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = x টাকা।
প্রশ্নানুসারে, তিনি যত টাকায় ঘড়িটি কিনেছিলেন, শতকরা তত টাকা লাভ করেছেন।
অতএব, লাভের হার = x%
আমরা জানি, লাভ সব সময় ক্রয়মূল্যের ওপর হিসাব করা হয়।
মোট লাভ = ক্রয়মূল্য × লাভের হার বা, মোট লাভ = x × x% = x × x100 = x2100 টাকাশর্তানুসারে, বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ
x + x2100 = 336 বা, 100x + x2100 = 336কোণাকুণি গুণ করে পাই—
বা, 100x + x2 = 33600 বা, x2 + 100x – 33600 = 0x2 + 100x – 33600 = 0
সমাধান:
ধরি, স্থির জলে নৌকার বেগ = x কিমি./ঘণ্টা।
দেওয়া আছে, স্রোতের বেগ = 2 কিমি./ঘণ্টা।
অতএব, স্রোতের অনুকূলে (স্রোতের দিকে) নৌকার বেগ = (x + 2) কিমি./ঘণ্টা।
এবং স্রোতের প্রতিকূলে (স্রোতের বিপরীতে) নৌকার বেগ = (x – 2) কিমি./ঘণ্টা।
21 কিমি. দূরত্ব স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = 21x + 2 ঘণ্টা।
21 কিমি. দূরত্ব স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগে = 21x – 2 ঘণ্টা।
শর্তানুসারে, মোট সময় 10 ঘণ্টা।
21x + 2 + 21x – 2 = 10 বা, 21 ( 1x + 2 + 1x – 2 ) = 10 বা, 21 ( (x – 2) + (x + 2)(x + 2)(x – 2) ) = 10 বা, 21 × 2xx2 – 22 = 10 বা, 42xx2 – 4 = 10কোণাকুণি গুণ করে পাই—
বা, 10(x2 – 4) = 42x বা, 10x2 – 40 = 42x বা, 10x2 – 42x – 40 = 0পুরো সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই—
বা, 5x2 – 21x – 20 = 05x2 – 21x – 20 = 0
সমাধান:
ধরি, বাগানটি পরিষ্কার করতে মহিমের একার সময় লাগে = x ঘণ্টা।
যেহেতু মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে, তাই মজিদের একার সময় লাগে = (x + 3) ঘণ্টা।
অতএব,
মহিম 1 ঘণ্টায় কাজটির 1x অংশ করে।
মজিদ 1 ঘণ্টায় কাজটির 1x + 3 অংশ করে।
তারা উভয়ে একসঙ্গে 1 ঘণ্টায় কাজটির মোট ( 1x + 1x + 3 ) অংশ করে।
আবার দেওয়া আছে, তারা একসঙ্গে পুরো কাজটি (1 অংশ) 2 ঘণ্টায় শেষ করে। অর্থাৎ তারা 1 ঘণ্টায় মোট কাজটির 12 অংশ করে।
শর্তানুসারে,
1x + 1x + 3 = 12 বা, (x + 3) + xx(x + 3) = 12 বা, 2x + 3x2 + 3x = 12কোণাকুণি গুণ করে পাই—
বা, x2 + 3x = 2(2x + 3) বা, x2 + 3x = 4x + 6 বা, x2 + 3x – 4x – 6 = 0 বা, x2 – x – 6 = 0x2 – x – 6 = 0
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কটি = x
যেহেতু একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি, তাই একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে = (x + 6)
আমরা জানি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করার নিয়ম হলো: (10 × দশক স্থানীয় অঙ্ক) + (একক স্থানীয় অঙ্ক)।
অতএব, সংখ্যাটি = 10 × x + (x + 6) বা, সংখ্যাটি = 10x + x + 6 = 11x + 6অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x(x + 6) = x2 + 6x
শর্তানুসারে, অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম।
x2 + 6x = (11x + 6) – 12 বা, x2 + 6x = 11x – 6সব পদগুলোকে বামদিকে আনলে—
বা, x2 + 6x – 11x + 6 = 0 বা, x2 – 5x + 6 = 0x2 – 5x + 6 = 0
সমাধান:
ধরি, মাঠের বাইরের চারপাশের রাস্তাটি x মিটার চওড়া।
রাস্তা বাদে মাঠের দৈর্ঘ্য = 45 মিটার এবং প্রস্থ = 40 মিটার।
অতএব, রাস্তা বাদে মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 × 40 = 1800 বর্গ মিটার।রাস্তাসহ মাঠের দৈর্ঘ্য = 45 + x + x = (45 + 2x) মিটার।
রাস্তাসহ মাঠের প্রস্থ = 40 + x + x = (40 + 2x) মিটার।
অতএব, রাস্তাসহ মাঠের মোট ক্ষেত্রফল = (45 + 2x)(40 + 2x) বর্গ মিটার।শর্তানুসারে, শুধু রাস্তার ক্ষেত্রফল = 450 বর্গ মিটার।
আমরা জানি, (রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল) – (মাঠের ক্ষেত্রফল) = রাস্তার ক্ষেত্রফল।
(45 + 2x)(40 + 2x) – 1800 = 450 বা, 1800 + 90x + 80x + 4x2 – 1800 = 450বামদিকের +1800 এবং -1800 কেটে গেলে থাকে—
বা, 4x2 + 170x = 450 বা, 4x2 + 170x – 450 = 0পুরো সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই—
বা, 2x2 + 85x – 225 = 02x2 + 85x – 225 = 0