1 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: A ও B এর সম্পর্কিত মানগুলি নিচে দেওয়া হলো—

A ও B এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

ধাপ 1: চলরাশি দুটির অনুপাত নির্ণয়

এখানে প্রদত্ত মানগুলি থেকে পাই—

• যখন A = 25, B = 10; তখন
  AB = 255 102 = 52
• যখন A = 30, B = 12; তখন
  AB = 305 122 = 52
• যখন A = 45, B = 18; তখন
  AB = 455 182 = 52
• যখন A = 250, B = 100; তখন
  AB = 2505 1002 = 52

ধাপ 2: সম্পর্কের প্রকৃতি নির্ণয়

ধাপ 3: ভেদ ধ্রুবকের মান নির্ণয়

ধরি, A = kB (যেখানে k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)।
তাহলে, k = AB

2 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি নিচে দেওয়া হলো—

x ও y এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।

ধাপ 1: চলরাশি দুটির গুণফল (xy) নির্ণয়

এখানে প্রদত্ত মানগুলি থেকে x ও y এর গুণফল বের করে পাই—

• যখন x = 18 এবং y = 3; তখন
  xy = 18 × 3 = 54
• যখন x = 8 এবং y = 274; তখন
  xy = 82 × 2741 = 2 × 27 = 54
• যখন x = 12 এবং y = 92; তখন
  xy = 126 × 921 = 6 × 9 = 54
• যখন x = 6 এবং y = 9; তখন
  xy = 6 × 9 = 54

ধাপ 2: সম্পর্কের প্রকৃতি নির্ণয়

3(i) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

ধাপ 1: চলরাশি নির্ধারণ ও সম্পর্ক স্থাপন

ধরি,
প্রয়োজনীয় সময় = T
অতিক্রান্ত দূরত্ব = S

যেহেতু, গতিবেগ স্থির রেখে সময় বৃদ্ধি পেলে অতিক্রান্ত দূরত্বও বৃদ্ধি পায় (এবং সময় হ্রাস পেলে দূরত্ব হ্রাস পায়), সুতরাং T ও S সরল ভেদে (Direct Variation) আছে।

অর্থাৎ, S ∝ T

বা, S = kT ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

ধাপ 2: ভেদ ধ্রুবকের (k) মান নির্ণয়

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, T = 25 মিনিট হলে, S = 14 কিমি।

এখন, (i) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

14 = k × 25
বা, k = 1425

ধাপ 3: চূড়ান্ত সমীকরণ গঠন

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই—

S = 1425T ………… (ii)

ধাপ 4: চূড়ান্ত মান নির্ণয়

এখন সময় দেওয়া আছে, T = 5 ঘণ্টা = (5 × 60) মিনিট = 300 মিনিট।

(ii) নং সমীকরণে T-এর মান বসিয়ে পাই—

S = 1425 × 300
বা, S = 14251 × 30012
বা, S = 14 × 12
বা, S = 168

3(ii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5টি করে সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

ধাপ 1: চলরাশি নির্ধারণ ও সম্পর্ক স্থাপন

ধরি,
শিশুর সংখ্যা = A জন
প্রত্যেকের পাওয়া সন্দেশের সংখ্যা = B টি

যেহেতু মোট সন্দেশের সংখ্যা স্থির রেখে শিশুর সংখ্যা কমালে প্রত্যেকে বেশি সন্দেশ পাবে (এবং বাড়ালে কম পাবে), সুতরাং A ও B ব্যস্ত ভেদে (Inverse Variation) আছে।

অর্থাৎ, A ∝ 1B

বা, A = k × 1B ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

ধাপ 2: ভেদ ধ্রুবকের (k) মান নির্ণয়

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, A = 24 হলে, B = 5।

এখন, (i) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

24 = k × 15
বা, k = 24 × 5
বা, k = 120

ধাপ 3: চূড়ান্ত সমীকরণ ও মান নির্ণয়

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই—

A = 120B ………… (ii)

এখন শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে, বর্তমান শিশুর সংখ্যা (A) = 24 – 4 = 20 জন।

(ii) নং সমীকরণে A-এর মান বসিয়ে পাই—

20 = 120B
বা, B = 12020
বা, B = 1206 201
বা, B = 6

3(iii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কত জন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

ধাপ 1: চলরাশি নির্ধারণ ও সম্পর্ক স্থাপন

ধরি,
গ্রামবাসীর সংখ্যা = N জন
প্রয়োজনীয় দিনসংখ্যা = D দিন

যেহেতু মোট কাজের পরিমাণ স্থির রেখে, দিনসংখ্যা কমালে বেশি লোক লাগবে (এবং দিনসংখ্যা বাড়ালে কম লোক লাগবে), সুতরাং N ও D ব্যস্ত ভেদে (Inverse Variation) আছে।

অর্থাৎ, N ∝ 1D

বা, N = k × 1D ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

ধাপ 2: ভেদ ধ্রুবকের (k) মান নির্ণয়

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, N = 50 হলে, D = 18।

এখন, (i) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

50 = k × 118
বা, k = 50 × 18
বা, k = 900

ধাপ 3: চূড়ান্ত সমীকরণ ও মান নির্ণয়

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই—

N = 900D ………… (ii)

এখন, পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে, D = 15।

(ii) নং সমীকরণে D-এর মান বসিয়ে পাই—

N = 90015 বা, N = 90060 151

বা, N = 60

অর্থাৎ 15 দিনে কাজটি শেষ করতে মোট 60 জন লোক লাগবে।

ধাপ 4: অতিরিক্ত লোকসংখ্যা নির্ণয়

আগে থেকে লোক ছিল = 50 জন।
অতিরিক্ত লোক লাগবে = (60 – 50) জন = 10 জন।

4(i) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: y, x এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6.

ধাপ 1: সম্পর্ক স্থাপন

দেওয়া আছে, y, x এর বর্গমূলের (√x) সঙ্গে সরলভেদে আছে।

অর্থাৎ, y ∝ √x

বা, y = k√x ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

ধাপ 2: ভেদ ধ্রুবকের (k) মান নির্ণয়

প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী, x = 9 হলে, y = 9 হয়।

(i) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

9 = k√9
বা, 9 = k × 3
বা, k = 93

বা, k = 93 31

বা, k = 3

ধাপ 3: চূড়ান্ত সমীকরণ গঠন

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই—

y = 3√x ………… (ii)

ধাপ 4: x এর মান নির্ণয়

এখন দেওয়া আছে, y = 6।

(ii) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই—

6 = 3√x
বা, √x = 63

বা, √x = 62 31

বা, √x = 2

উভয়দিকে বর্গ (Square) করে পাই,

x = 2²

বা, x = 4

4(ii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x, y এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি।

ধাপ 1: যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ

প্রশ্নানুসারে,

• x ∝ y , যখন z ধ্রুবক
• x ∝ 1z , যখন y ধ্রুবক

x ∝ yz , যখন y ও z উভয়ই পরিবর্তনশীল।

সুতরাং, x = k × yz ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

ধাপ 2: ভেদ ধ্রুবকের (k) মান নির্ণয়

প্রথম শর্তে দেওয়া আছে, y = 4 এবং z = 5 হলে x = 3 হয়।

(i) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

3 = k × 45
বা, 4k = 15
বা, k = 154

ধাপ 3: চূড়ান্ত সমীকরণ গঠন

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই—

x = 15y4z ………… (ii)

ধাপ 4: x এর মান নির্ণয়

দ্বিতীয় শর্তে দেওয়া আছে, যখন y = 16 এবং z = 30।

এখন, (ii) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

x = 15 × 164 × 30

বা, x = 151 × 164 41 × 302 বা, x = 42 21

বা, x = 2

4(iii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x, y এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও z = 9 হলে, x = 16 হয়। x, y ও z এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি এবং y = 6 ও z = 15 হলে, x এর মান হিসাব করে লিখি।

ধাপ 1: যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ

প্রশ্নানুসারে,

• x ∝ y , যখন z ধ্রুবক
• x ∝ 1z , যখন y ধ্রুবক

x ∝ yz , যখন y ও z উভয়ই পরিবর্তনশীল।

সুতরাং, x = k × yz ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

ধাপ 2: ভেদ ধ্রুবকের (k) মান নির্ণয়

প্রথম শর্তে দেওয়া আছে, y = 5 এবং z = 9 হলে x = 16 হয়।

(i) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

16 = k × 59

বা, k = 1 × 96 × 5 = 930 বা, k = 93 3010

বা, k = 310

ধাপ 3: চলরাশিগুলির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয়

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই—

x = 310 × yz

ধাপ 4: x এর মান নির্ণয়

দ্বিতীয় শর্তে দেওয়া আছে, যখন y = 6 এবং z = 15।

এখন, (ii) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

x = 3 × 6 10 × 15 বা, x = 18 102 × 151 বা, x = 182 বা, x = 189 21

বা, x = 9

5(i) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x ∝ y হলে, দেখাই যে (x + y) ∝ (x – y)

দেওয়া আছে, x ∝ y

বা, x = ky ………… (i)

[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক (k ≠ 0)]

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, (x + y) ও (x – y) সরল ভেদে আছে। এর জন্য আমাদের দেখাতে হবে যে তাদের অনুপাত একটি ধ্রুবক।

এখন, x + yx – y

(i) নং সমীকরণ থেকে x = ky মানটি বসিয়ে পাই—

= ky + y ky – y = y(k + 1) y(k – 1) = y1(k + 1) y1(k – 1) = k + 1k – 1

যেহেতু k একটি ধ্রুবক, তাই k + 1k – 1 -ও একটি ধ্রুবক হবে।

ধরি, k + 1k – 1 = m (একটি ধ্রুবক)

সুতরাং, x + yx – y = m

বা, (x + y) = m(x – y)

5(ii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: A ∝ 1C এবং C ∝ 1B হলে, দেখাই যে A ∝ B

দেওয়া আছে, A ∝ 1C

বা, A = k₁ × 1C বা, C = k₁A ………… (i)

[যেখানে, k₁ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আবার দেওয়া আছে, C ∝ 1B

বা, C = k₂ × 1B বা, C = k₂B ………… (ii)

[যেখানে, k₂ হলো অপর একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(i) নং এবং (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে (যেহেতু দুটিই C-এর মান) পাই—

k₁A = k₂B

বজ্রগুণন (Cross-multiplication) করে বা পদগুলো সাজিয়ে পাই—

AB = k₁k₂

যেহেতু k₁ এবং k₂ উভয়ই ধ্রুবক, তাই তাদের অনুপাত k₁k₂ -ও একটি ধ্রুবক হবে।

ধরি, k₁k₂ = k (একটি নতুন ধ্রুবক)

সুতরাং, AB = k

বা, A = kB

5(iii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: a ∝ b, b ∝ 1c এবং c ∝ d হলে, a ও d এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

দেওয়া আছে,

a ∝ b
বা, a = k₁b ………… (i)
[যেখানে, k₁ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] b ∝ 1c
বা, b = k₂ × 1c ………… (ii)
[যেখানে, k₂ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] c ∝ d
বা, c = k₃d ………… (iii)
[যেখানে, k₃ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(i) নং সমীকরণ থেকে আমরা পাই,

a = k₁b

এখন, (ii) নং সমীকরণ থেকে b-এর মান এখানে বসিয়ে পাই—

a = k₁ × k₂c

আবার, (iii) নং সমীকরণ থেকে c-এর মান বসিয়ে পাই—

a = k₁ × k₂k₃d

উপরের সমীকরণটিকে সাজিয়ে লিখলে দাঁড়ায়—

a = k₁k₂k₃ × 1d

যেহেতু k₁, k₂ এবং k₃ সকলেই ধ্রুবক, তাই তাদের মান k₁k₂k₃ -ও একটি ধ্রুবক হবে।

ধরি, k₁k₂k₃ = k (একটি নতুন অশূন্য ধ্রুবক)

সুতরাং, a = k × 1d বা, a ∝ 1d

5(iv) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

দেওয়া আছে,

x ∝ y
বা, x = k₁y ………… (i)
[যেখানে, k₁ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] y ∝ z
বা, y = k₂z ………… (ii)
[যেখানে, k₂ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] z ∝ x
বা, z = k₃x ………… (iii)
[যেখানে, k₃ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(i), (ii) এবং (iii) নং সমীকরণের বামপক্ষ ও ডানপক্ষ পরস্পর গুণ করে পাই—

x × y × z = (k₁y) × (k₂z) × (k₃x) বা, xyz = (k₁k₂k₃)xyz

উভয় দিক থেকে সম্পর্কটি সাজিয়ে লিখলে পাই—

k₁k₂k₃ = xyzxyz বা, k₁k₂k₃ = xyz1 xyz1

বা, k₁k₂k₃ = 1

6(i) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x + y ∝ x – y হলে, দেখাই যে, x² + y² ∝ xy

দেওয়া আছে, x + y ∝ x – y

বা, x + y = k(x – y)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] বা, x + yx – y = k (x + y) + (x – y)(x + y) – (x – y) = k + 1k – 1 বা, 2x2y = k + 1k – 1 বা, 21x 21y = k + 1k – 1

বা, xy = m
[ধরি, k + 1k – 1 = m, যা একটি নতুন ধ্রুবক]

সুতরাং, x = my ………… (i)

প্রমাণ করতে হবে: x² + y² ∝ xy

এর জন্য আমাদের দেখাতে হবে, x² + y²xy = ধ্রুবক

এখন রাশিটিতে (i) নং থেকে x = my বসিয়ে পাই—

x² + y²xy = (my)² + y²(my) × y = m²y² + y²my² = y²(m² + 1)my² = y²1(m² + 1) my²1

= m² + 1m

যেহেতু m একটি ধ্রুবক, তাই m² + 1m রাশিটিও একটি ধ্রুবক হবে।

সুতরাং, x² + y²xy = ধ্রুবক বা, x² + y² = ধ্রুবক × xy

6(ii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x + y ∝ x – y হলে, দেখাই যে, x³ + y³ ∝ x³ – y³

দেওয়া আছে, x + y ∝ x – y

বা, x + y = k(x – y)
[যেখানে, k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] বা, x + yx – y = k (x + y) + (x – y)(x + y) – (x – y) = k + 1k – 1 বা, 2x2y = k + 1k – 1 বা, xy = p
[ধরি, k + 1k – 1 = p, যা একটি নতুন ধ্রুবক]

উভয়পক্ষে ঘন করে পাই—

x³y³ = p³

পুনরায় যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই—

x³ + y³x³ – y³ = p³ + 1p³ – 1

যেহেতু p একটি ধ্রুবক, তাই p³ + 1p³ – 1 -ও একটি ধ্রুবক রাশি।

6(iii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x + y ∝ x – y হলে, দেখাই যে, (ax + by) ∝ (px + qy) [যেখানে a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]

দেওয়া আছে, x + y ∝ x – y

বা, x + yx – y = k
[যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই—

2x2y = k + 1k – 1 বা, xy = m
[ধরি, k + 1k – 1 = m, যা একটি ধ্রুবক]

সুতরাং, x = my

আমাদের দেখাতে হবে, ax + bypx + qy একটি ধ্রুবক।

এখন, ax + bypx + qy = a(my) + byp(my) + qy = y(am + b)y(pm + q) = am + bpm + q

যেহেতু a, b, p, q এবং m সকলেই ধ্রুবক, তাই তাদের সমন্বয়ে গঠিত am + bpm + q রাশিটিও একটি ধ্রুবক।

7(i) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: a² + b² ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – b

দেওয়া আছে, a² + b² ∝ ab

বা, a² + b² = k × ab
[যেখানে, k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

উভয়পক্ষকে 2ab দিয়ে ভাগ করে পাই—

a² + b²2ab = k × ab2 × ab বা, a² + b²2ab = k × ab1 2 × ab1 বা, a² + b²2ab = k2

যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই—

a² + b² + 2aba² + b² – 2ab = k + 2k – 2 বা, (a + b)²(a – b)² = k + 2k – 2

উভয়পক্ষে বর্গমূল (Square root) করে পাই—

a + ba – b = √ k + 2k – 2

যেহেতু k একটি ধ্রুবক, তাই রুটের ভেতরের পুরো রাশিটিও একটি ধ্রুবক।

বা, a + ba – b = m
[ধরি, সম্পূর্ণ বর্গমূল রাশিটি = m, যা একটি নতুন ধ্রুবক] বা, a + b = m(a – b)

7(ii) নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x³ + y³ ∝ x³ – y³ হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y

দেওয়া আছে, x³ + y³ ∝ x³ – y³

বা, x³ + y³ = k(x³ – y³)
[যেখানে, k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] বা, x³ + y³x³ – y³ = k

যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই—

(x³ + y³) + (x³ – y³)(x³ + y³) – (x³ – y³) = k + 1k – 1 বা, 2x³2y³ = k + 1k – 1 বা, 21x³ 21y³ = p³
[ধরি, k + 1k – 1 = p³, যা একটি নতুন ধ্রুবক] বা, x³y³ = p³

উভয়পক্ষে ঘনমূল করে পাই—

xy = p বা, x = py ………… (i)

আমাদের দেখাতে হবে, (x + y) এবং (x – y) এর অনুপাত একটি ধ্রুবক।

এখন, x + yx – y

(i) নং থেকে x = py বসিয়ে পাই—

= py + ypy – y = y(p + 1)y(p – 1) = y1(p + 1) y1(p – 1) = p + 1p – 1

যেহেতু p একটি ধ্রুবক, তাই p + 1p – 1 -ও একটি ধ্রুবক।

ধরি, p + 1p – 1 = m (একটি ধ্রুবক)

সুতরাং, x + yx – y = m বা, x + y = m(x – y)

8 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন।

ধরি,
কৃষকের সংখ্যা = F জন
প্রয়োজনীয় সময় = D দিন
জমির পরিমাণ = L বিঘা

এখন সম্পর্কগুলো বিশ্লেষণ করে পাই—

• জমির পরিমাণ (L) স্থির থাকলে, কৃষকের সংখ্যা বাড়লে দিন কম লাগবে। অর্থাৎ, D এবং F ব্যস্ত ভেদে আছে। (D ∝ 1F)
• কৃষকের সংখ্যা (F) স্থির থাকলে, জমির পরিমাণ বাড়লে দিন বেশি লাগবে। অর্থাৎ, D এবং L সরল ভেদে আছে। (D ∝ L)

D ∝ LF , যখন L ও F উভয়ই পরিবর্তনশীল।

বা, D = k × LF ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

প্রথম শর্তানুসারে, F = 15, D = 5 এবং L = 18।

(i) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

5 = k × 1815 বা, k = 5 × 1518 বা, k = 5 × 155 186 বা, k = 256

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই—

D = 25L6F ………… (ii)

দ্বিতীয় শর্তানুসারে, F = 10 এবং L = 12 হলে, D এর মান বের করতে হবে।

(ii) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

D = 25 × 126 × 10 বা, D = 255 × 122 61 × 102 বা, D = 5 × 21 21 বা, D = 5

9 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 112 মিটার, 2 মিটার এবং 212 মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট গোলক গলিয়ে একটি নতুন নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। গলানোর ফলে আয়তনের কোনো পরিবর্তন না হলে নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

ধরি,
গোলকের আয়তন = V ঘনমিটার
গোলকের ব্যাসার্ধ = R মিটার

প্রশ্নানুসারে সম্পর্কটি হলো—

V ∝ R³

বা, V = kR³ ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

দেওয়া আছে তিনটি গোলকের ব্যাসার্ধ (R):
R₁ = 112 = 32 মিটার
R₂ = 2 মিটার
R₃ = 212 = 52 মিটার

এখন, (i) নং সমীকরণ প্রয়োগ করে তিনটি গোলকের আয়তন বের করে পাই—

• প্রথম গোলকের আয়তন, V₁ = k × (32)³ = k × 278 = 27k8 ঘনমিটার
• দ্বিতীয় গোলকের আয়তন, V₂ = k × (2)³ = k × 8 = 8k ঘনমিটার
• তৃতীয় গোলকের আয়তন, V₃ = k × (52)³ = k × 1258 = 125k8 ঘনমিটার

যেহেতু তিনটি গোলক গলিয়ে নতুন গোলক তৈরি করা হয়েছে এবং আয়তনের কোনো পরিবর্তন হয়নি, তাই নতুন গোলকের আয়তন হবে তিনটি গোলকের আয়তনের সমষ্টির সমান।

নতুন গোলকের মোট আয়তন (V_T):

V_T = V₁ + V₂ + V₃ = 27k8 + 8k + 125k8 = 27k + 64k + 125k8 = 216k8 ঘনমিটার

ধরি, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = R_N মিটার।

প্রশ্নানুসারে সম্পর্কটি নতুন গোলকের জন্যও প্রযোজ্য—

V_T = kR_N³

এখন, V_T এর মান বসিয়ে পাই—

216k8 = kR_N³ বা, 216 × k1 8 = k1R_N³ বা, 2168 = R_N³ বা, 21627 81 = R_N³ বা, 27 = R_N³ বা, 3³ = R_N³

উভয়পক্ষে ঘনমূল (Cube Root) করে পাই—

বা, R_N = 3

10 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরল ভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। x = 1 হলে y = -1 এবং x = 3 হলে y = 5 হয়। x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

ধরি, y = a + b

প্রশ্নানুসারে, a চলটি x এর সাথে সরল ভেদে এবং b চলটি x এর সাথে ব্যস্ত ভেদে আছে।

• a ∝ x ⇒ a = k₁x [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
• b ∝ 1x ⇒ b = k₂x [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

সুতরাং, y এর সমীকরণটি হলো:

y = k₁x + k₂x ………… (i)

দেওয়া আছে, x = 1 হলে y = -1 হয়।

(i) নং সমীকরণে এই মান বসিয়ে পাই—

-1 = k₁(1) + k₂1 বা, k₁ + k₂ = -1 ………… (ii)

আবার দেওয়া আছে, x = 3 হলে y = 5 হয়।

(i) নং সমীকরণে এই মান বসিয়ে পাই—

5 = k₁(3) + k₂3 বা, 5 = 3k₁ + k₂3

সমীকরণটিকে 3 দিয়ে গুণ করে পাই—

বা, 15 = 9k₁ + k₂ বা, 9k₁ + k₂ = 15 ………… (iii)

এখন, (iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই—

(9k₁ + k₂) – (k₁ + k₂) = 15 – (-1) বা, 9k₁ + k₂ – k₁ – k₂ = 15 + 1 বা, 8k₁ = 16 বা, k₁ = 168 বা, k₁ = 162 81 বা, k₁ = 2

k₁ = 2 মানটি (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—

2 + k₂ = -1 বা, k₂ = -1 – 2 বা, k₂ = -3

এখন k₁ এবং k₂ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—

y = 2x + (-3)x

11 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: a ∝ b, b ∝ c হলে, দেখাই যে, a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)

দেওয়া আছে,

b ∝ c
বা, b = k₁c ………… (i)
[যেখানে, k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] আবার, a ∝ b
বা, a = k₂b ………… (ii)
[যেখানে, k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(ii) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই—

a = k₂(k₁c) বা, a = k₁k₂c ………… (iii)

আমাদের দেখাতে হবে, a³b³ + b³c³ + c³a³abc(a³ + b³ + c³) = ধ্রুবক

এখন, রাশিটিতে a এবং b এর মান (c এর মাধ্যমে) বসিয়ে পাই—

(k₁k₂c)³(k₁c)³ + (k₁c)³c³ + c³(k₁k₂c)³ (k₁k₂c)(k₁c)c [ (k₁k₂c)³ + (k₁c)³ + c³ ] = k₁³k₂³c³ × k₁³c³ + k₁³c³ × c³ + c³ × k₁³k₂³c³ k₁²k₂c³ [ k₁³k₂³c³ + k₁³c³ + c³ ] = k₁⁶k₂³c⁶ + k₁³c⁶ + k₁³k₂³c⁶ k₁²k₂c³ × c³ [ k₁³k₂³ + k₁³ + 1 ] = c⁶ (k₁⁶k₂³ + k₁³ + k₁³k₂³) c⁶ × k₁²k₂ (k₁³k₂³ + k₁³ + 1) = c⁶1 (k₁⁶k₂³ + k₁³ + k₁³k₂³) c⁶1 × k₁²k₂ (k₁³k₂³ + k₁³ + 1) = k₁⁶k₂³ + k₁³ + k₁³k₂³ k₁²k₂ (k₁³k₂³ + k₁³ + 1)

যেহেতু k₁ এবং k₂ উভয়েই ধ্রুবক, তাই ওপরের সম্পূর্ণ রাশিটিও একটি ধ্রুবক।

সুতরাং, a³b³ + b³c³ + c³a³abc(a³ + b³ + c³) = ধ্রুবক

12 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: x ডেসিমিটার গভীর একটি কূয়া খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x²-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূয়া খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূয়া খনন করার জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।

ধরি, মোট ব্যয় = y টাকা।

প্রশ্নানুসারে, মোট ব্যয় y দুটি অংশের সমষ্টি। ধরি, y = A + B

• প্রথম অংশ A, x এর সাথে সরলভেদে আছে: A ∝ x ⇒ A = k₁x [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
• দ্বিতীয় অংশ B, x² এর সাথে সরলভেদে আছে: B ∝ x² ⇒ B = k₂x² [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

সুতরাং, মোট ব্যয়ের সমীকরণটি হলো:

y = k₁x + k₂x² ………… (i)

দেওয়া আছে, x = 100 হলে y = 5000 হয়।

(i) নং সমীকরণে এই মান বসিয়ে পাই—

5000 = k₁(100) + k₂(100)² বা, 5000 = 100k₁ + 10000k₂

উভয়পক্ষকে 100 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, 50 = k₁ + 100k₂ ………… (ii)

আবার দেওয়া আছে, x = 200 হলে y = 12000 হয়।

(i) নং সমীকরণে এই মান বসিয়ে পাই—

12000 = k₁(200) + k₂(200)² বা, 12000 = 200k₁ + 40000k₂

উভয়পক্ষকে 200 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, 60 = k₁ + 200k₂ ………… (iii)

এখন, (iii) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই—

(k₁ + 200k₂) – (k₁ + 100k₂) = 60 – 50 বা, 100k₂ = 10 বা, k₂ = 10100 বা, k₂ = 101 10010 বা, k₂ = 110

k₂ = 110 মানটি (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—

k₁ + 100 × 110 = 50 বা, k₁ + 10010 × 1 101 = 50 বা, k₁ + 10 = 50 বা, k₁ = 50 – 10 বা, k₁ = 40

এখন k₁ এবং k₂ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—

y = 40x + 110x²

আমাদের বের করতে হবে x = 250 হলে y এর মান কত।

y = 40(250) + 110(250)² বা, y = 10000 + 110 × 62500 বা, y = 10000 + 625006250 101 বা, y = 10000 + 6250 বা, y = 16250

13 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

ধরি,
চোঙের আয়তন = V
ভূমির ব্যাসার্ধ = r
উচ্চতা = h

প্রশ্নানুসারে, আয়তন (V), ব্যাসার্ধের বর্গ (r²) এবং উচ্চতা (h) এর সাথে যৌগিক ভেদে আছে।

অর্থাৎ, V ∝ r²h

বা, V = k r²h ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

দেওয়া আছে, দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত = 2 : 3

ধরি, প্রথম চোঙের ব্যাসার্ধ (r₁) = 2x এবং দ্বিতীয় চোঙের ব্যাসার্ধ (r₂) = 3x [যেখানে x একটি সাধারণ উৎপাদক]

আবার দেওয়া আছে, তাদের উচ্চতার অনুপাত = 5 : 4

ধরি, প্রথম চোঙের উচ্চতা (h₁) = 5y এবং দ্বিতীয় চোঙের উচ্চতা (h₂) = 4y [যেখানে y অপর একটি সাধারণ উৎপাদক]

(i) নং সমীকরণ ব্যবহার করে দুটি চোঙের আয়তন বের করি—

• প্রথম চোঙের আয়তন (V₁) = k × (2x)² × (5y) = k × 4x² × 5y = 20kx²y
• দ্বিতীয় চোঙের আয়তন (V₂) = k × (3x)² × (4y) = k × 9x² × 4y = 36kx²y

এখন, তাদের আয়তনের অনুপাত হবে:

V₁V₂ = 20kx²y36kx²y বা, V₁V₂ = 20 × kx²y1 36 × kx²y1 বা, V₁V₂ = 2036 বা, V₁V₂ = 205 369 বা, V₁V₂ = 59

14 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

ধরি,
জমির পরিমাণ = A বিঘা
লাঙলের সংখ্যা = P টি
প্রয়োজনীয় সময় = D দিন

এখন সম্পর্কগুলো বিশ্লেষণ করে পাই—

• জমির পরিমাণ (A) স্থির থাকলে, লাঙলের সংখ্যা (P) বাড়লে সময় (D) কম লাগবে। অর্থাৎ, D এবং P ব্যস্ত ভেদে আছে। (D ∝ 1P)
• লাঙলের সংখ্যা (P) স্থির থাকলে, জমির পরিমাণ (A) বাড়লে সময় (D) বেশি লাগবে। অর্থাৎ, D এবং A সরল ভেদে আছে। (D ∝ A)

D ∝ AP , যখন A ও P উভয়ই পরিবর্তনশীল।

বা, D = k × AP ………… (i)
[যেখানে, k হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

প্রথম শর্তানুসারে, A = 2400, P = 25 এবং D = 36।

(i) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

36 = k × 240025 বা, 36 = k × 240096 251 বা, 36 = k × 96 বা, k = 3696 বা, k = 363 968 বা, k = 38

(i) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই—

D = 3A8P ………… (ii)

দ্বিতীয় শর্তানুসারে, অর্ধেক জমি অর্থাৎ A = 24002 = 1200 বিঘা এবং সময় D = 30 দিন। ধরি, ওই কাজ করতে P₁ সংখ্যক লাঙল লাগত।

(ii) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই—

30 = 3 × 12008 × P₁ বা, P₁ = 3 × 12008 × 30 বা, P₁ = 31 × 1200150 8 × 3010 বা, P₁ = 1508 = 754

দুঃখিত, এখানে আমার কাটাকুটিতে একটু ভুল হয়েছে। আমি সঠিক হিসাবটি আবার করছি।

P₁ = 3 × 12008 × 30 বা, P₁ = 3 × 120040 8 × 301 বা, P₁ = 3 × 408 বা, P₁ = 3 × 405 81 বা, P₁ = 15

অর্থাৎ, যে কাজটি 1টি ট্রাক্টর 30 দিনে করেছে, সেই একই কাজ করতে 15 টি লাঙল লাগত।

15 নম্বর প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।

ধরি,
গোলকের আয়তন = V
গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = S
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

প্রশ্নানুসারে,

V ∝ r³
বা, V = k₁r³ ………… (i)
[যেখানে, k₁ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] আবার, S ∝ r²
বা, S = k₂r² ………… (ii)
[যেখানে, k₂ হলো একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, আয়তনের বর্গ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে আছে, অর্থাৎ V² ∝ S³

এর জন্য আমাদের দেখাতে হবে, V²S³ = একটি ধ্রুবক।

এখন, V²S³

(i) এবং (ii) নং সমীকরণ থেকে V এবং S এর মান বসিয়ে পাই—

= (k₁r³)²(k₂r²)³ = k₁²r⁶k₂³r⁶ = k₁² r⁶1 k₂³ r⁶1 = k₁²k₂³

যেহেতু k₁ এবং k₂ উভয়েই ধ্রুবক, তাই তাদের সমন্বয়ে গঠিত রাশি k₁²k₂³ -ও একটি ধ্রুবক হবে।

ধরি, k₁²k₂³ = m (একটি নতুন ধ্রুবক)

সুতরাং, V²S³ = m বা, V² = mS³

16(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) সমাধান

সমাধান:

দেওয়া আছে, x ∝ 1y বা, x = k × 1y [যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] বা, xy = k বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক

সমাধান:

দেওয়া আছে, x ∝ y বা, x = ky [যেখানে k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

উভয়পক্ষে বর্গ (Square) করে পাই—

x² = k²y²

যেহেতু k একটি ধ্রুবক, তাই k² -ও একটি ধ্রুবক।

সুতরাং, x² ∝ y²

সমাধান:

x ∝ y ⇒ x = ky …… (1)

মান বসিয়ে পাই: 2 = k × 8

বা, k = 28 = 14

(1) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই: x = 14y

এখন, y = 16 হলে:

x = 14 × 16 = 164 / 41 = 4

সমাধান:

x ∝ y² ⇒ x = ky² …… (1)

মান বসিয়ে পাই: 8 = k × (4)²

বা, 8 = 16k ⇒ k = 816 = 12

(1) নং সমীকরণে k-এর মান বসিয়ে পাই: x = 12y²

এখন, x = 32 হলে:

32 = 12y² বা, y² = 64 ⇒ y = 8 (যেহেতু ধনাত্মক মান চাওয়া হয়েছে)

সমাধান:

ধরি, ভেদ ধ্রুবক তিনটি যথাক্রমে k₁, k₂ এবং k₃।

y – z = k₁ × 1x ⇒ k₁ = x(y – z) = xy – zx z – x = k₂ × 1y ⇒ k₂ = y(z – x) = yz – xy x – y = k₃ × 1z ⇒ k₃ = z(x – y) = zx – yz

এখন, তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি:

k₁ + k₂ + k₃ = (xy – zx) + (yz – xy) + (zx – yz)

সবগুলো পদ পরস্পর কেটে যাবে (যেমন, +xy এবং -xy)।

অতএব, k₁ + k₂ + k₃ = 0

16(B) নিচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি

যুক্তি:

y ∝ 1x ⇒ y = k × 1x ⇒ xy = k (অশূন্য ধ্রুবক)

অর্থাৎ xy = ধ্রুবক হয়, কিন্তু প্রশ্নে বলা আছে yx = ধ্রুবক। তাই বিবৃতিটি সঠিক নয়।

যুক্তি:

x ∝ z ⇒ x = k₁z y ∝ z ⇒ y = k₂z এখন, xy = (k₁z)(k₂z) = (k₁k₂)z²

যেহেতু k₁k₂ ধ্রুবক, তাই xy ∝ z² হবে। কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া আছে xy ∝ z।

16(C) শূন্যস্থান পূরণ করি

যুক্তি:

x = k₁ × 1y ………… (1) y = k₂ × 1z ………… (2)

(1) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই:

x = k₁k₂ / z = k₁k₂ × z

যেহেতু k₁k₂ ধ্রুবক, তাই x ∝ z

যুক্তি:

x ∝ y ⇒ x = ky

উভয়পক্ষে n ঘাতে উন্নীত করে পাই:

xⁿ = (ky)ⁿ = kⁿyⁿ

যেহেতু k একটি ধ্রুবক, তাই kⁿ -ও একটি ধ্রুবক। সুতরাং xⁿ ∝ yⁿ

যুক্তি:

x ∝ y ⇒ y ∝ x ⇒ y = k₁x x ∝ z ⇒ z ∝ x ⇒ z = k₂x

এখন যোগ করে পাই:

y + z = k₁x + k₂x = x(k₁ + k₂)

যেহেতু (k₁ + k₂) ধ্রুবক, তাই (y + z) ∝ x

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

দেওয়া আছে, x ∝ y² বা, x = ky² ………… (1) [k = অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

এখন x = a এবং y = 2a বসিয়ে পাই—

a = k(2a)² বা, a = k(4a²) বা, k = a4a² বা, k = a1 4a²a বা, k = 14a

k-এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—

x = 14ay² বা, y² = 4ax x ∝ y ⇒ x = k₁y …… (1) y ∝ z ⇒ y = k₂z …… (2) z ∝ x ⇒ z = k₃x …… (3)

সমীকরণ তিনটি গুণ করে পাই—

x × y × z = (k₁y) × (k₂z) × (k₃x) বা, xyz = (k₁k₂k₃)xyz বা, k₁k₂k₃ = xyzxyz বা, k₁k₂k₃ = xyz1 xyz1 x ∝ 1y ⇒ x = k₁ × 1y …… (1) y ∝ 1z ⇒ y = k₂ × 1z …… (2)

(1) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই—

x = k₁k₂ × 1z বা, x = k₁k₂ × z

যেহেতু k₁k₂ একটি ধ্রুবক, তাই x ∝ z

x ∝ yz ⇒ x = k₁yz …… (1) y ∝ zx ⇒ y = k₂zx …… (2)

(1) নং সমীকরণে y-এর মান বসিয়ে পাই—

x = k₁(k₂zx)z বা, x = k₁k₂z²x বা, x1 = k₁k₂z²x1 [যেহেতু x ≠ 0] বা, 1 = k₁k₂z² বা, z² = 1k₁k₂

যেহেতু k₁ এবং k₂ ধ্রুবক, তাই 1k₁k₂ -ও একটি ধ্রুবক।

b ∝ a³ ⇒ b = ka³ [k = ভেদ ধ্রুবক]

দেওয়া আছে, a-এর বৃদ্ধির অনুপাত = 2:3

ধরি, প্রাথমিক অবস্থায় a₁ = 2x এবং অন্তিম অবস্থায় a₂ = 3x

তাহলে, প্রাথমিক অবস্থায় b-এর মান (b₁):

b₁ = k(2x)³ = k × 8x³ = 8kx³

অন্তিম অবস্থায় b-এর মান (b₂):

b₂ = k(3x)³ = k × 27x³ = 27kx³

এখন, b-এর বৃদ্ধির অনুপাত (b₁ : b₂):

b₁b₂ = 8kx³27kx³ বা, b₁b₂ = 8 × kx³1 27 × kx³1 বা, b₁ : b₂ = 8 : 27