কষে দেখি-1.4 | Class-10 | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation with one variable) | দশম শ্রেণী|

প্রশ্ন 1(i) 4x² + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – 1) — এই সমীকরণটি সমাধানে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ সম্ভব কিনা বুঝে লিখি।

সমাধান:

প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণটিকে সরল করে দেখি এটি কোন ধরনের সমীকরণ।

4x² + (2x – 1)(2x + 1) = 4x(2x – 1)

বামপক্ষে (a – b)(a + b) = a² – b² -এর সূত্র প্রয়োগ করে এবং ডানপক্ষে গুণ করে পাই—

বা, 4x² + (2x)² – (1)² = 8x² – 4x বা, 4x² + 4x² – 1 = 8x² – 4x বা, 8x² – 1 = 8x² – 4x

উভয়পক্ষ থেকে 8x² কেটে দিলে থাকে—

বা, 4x – 1 = 0

সরল করার পর আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, সমীকরণটিতে চলরাশি x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1। অর্থাৎ এটি একটি রৈখিক (একঘাত) সমীকরণ, এটি কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ নয়। আমরা জানি, শ্রীধর আচার্যের সূত্র শুধুমাত্র একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের (ax² + bx + c = 0, a ≠ 0) ক্ষেত্রেই প্রয়োগ করা যায়।

প্রশ্ন 1(ii) শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা কোন ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে পারি বুঝে লিখি।

সমাধান:

শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে আমরা শুধুমাত্র একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ-এর সমাধান করতে পারি।

প্রশ্ন 1(iii) 5x² + 2x – 7 = 0 এই সমীকরণে শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে x = k ± 1210 পাওয়া গেলে k-এর মান কী হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 5x² + 2x – 7 = 0

এই সমীকরণটিকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই:

a = 5,   b = 2,   c = -7

এখন, শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই—

x = -b ± √b² – 4ac2a বা, x = -2 ± √(2)² – 4 × 5 × (-7)2 × 5 বা, x = -2 ± √4 + 14010 বা, x = -2 ± √14410 বা, x = -2 ± 1210

কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া আছে, x = k ± 1210

তাহলে এই দুটি মান তুলনা করে আমরা পরিষ্কার দেখতে পাচ্ছি যে,

k = -2

প্রশ্ন (i) 3x² + 11x – 4 = 0

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 3,   b = 11,   c = -4

নিরূপক (b² – 4ac) = (11)² – 4(3)(-4) = 121 + 48 = 169 > 0

যেহেতু নিরূপকের মান ধনাত্মক, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,

x = -b ± √b² – 4ac2a বা, x = -11 ± √1692(3) বা, x = -11 ± 136

হয়, x = -11 + 136 = 26 = 13

অথবা, x = -11 – 136 = -246 = -4

প্রশ্ন (ii) (x – 2)(x + 4) + 9 = 0

সমাধান:

প্রথমে সমীকরণটিকে সরল করে সাধারণ আকারে আনি—

বা, x² + 4x – 2x – 8 + 9 = 0 বা, x² + 2x + 1 = 0

এটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 1,   b = 2,   c = 1

নিরূপক (b² – 4ac) = (2)² – 4(1)(1) = 4 – 4 = 0

যেহেতু নিরূপকের মান শূন্য, তাই সমীকরণটির বাস্তব ও সমান বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,

x = -2 ± √02(1) বা, x = -22 = -1

প্রশ্ন (iii) (4x – 3)² – 2(x + 3) = 0

সমাধান:

প্রথমে সমীকরণটিকে সরল করি—

বা, (16x² – 24x + 9) – 2x – 6 = 0 বা, 16x² – 26x + 3 = 0

এটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 16,   b = -26,   c = 3

নিরূপক (b² – 4ac) = (-26)² – 4(16)(3) = 676 – 192 = 484 > 0

শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,

x = -(-26) ± √4842(16) বা, x = 26 ± 2232

হয়, x = 26 + 2232 = 4832 = 32

অথবা, x = 26 – 2232 = 432 = 18

প্রশ্ন (iv) 3x² + 2x – 1 = 0

সমাধান:

এটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 3,   b = 2,   c = -1

নিরূপক (b² – 4ac) = (2)² – 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 > 0

শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,

x = -2 ± √162(3) বা, x = -2 ± 46

হয়, x = -2 + 46 = 26 = 13

অথবা, x = -2 – 46 = -66 = -1

প্রশ্ন (v) 3x² + 2x + 1 = 0

সমাধান:

এটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 3,   b = 2,   c = 1

নিরূপক (b² – 4ac) = (2)² – 4(3)(1) = 4 – 12 = -8

যেহেতু নিরূপকের মান ঋণাত্মক (0 এর চেয়ে ছোট), তাই এই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ পাওয়া সম্ভব নয়।

প্রশ্ন (vi) 10x² – x – 3 = 0

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 10,   b = -1,   c = -3

নিরূপক (b² – 4ac) = (-1)² – 4(10)(-3) = 1 + 120 = 121 > 0

যেহেতু নিরূপকের মান ধনাত্মক, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,

x = -(-1) ± √1212(10) বা, x = 1 ± 1120

হয়, x = 1 + 1120 = 1220 = 35

অথবা, x = 1 – 1120 = -1020 = –12

প্রশ্ন (vii) 10x² – x + 3 = 0

সমাধান:

এটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 10,   b = -1,   c = 3

নিরূপক (b² – 4ac) = (-1)² – 4(10)(3) = 1 – 120 = -119

যেহেতু নিরূপকের মান ঋণাত্মক (0 এর চেয়ে ছোট), তাই এই সমীকরণটির কোনো বাস্তব বীজ পাওয়া সম্ভব নয়।

প্রশ্ন (viii) 25x² – 30x + 7 = 0

সমাধান:

এটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 25,   b = -30,   c = 7

নিরূপক (b² – 4ac) = (-30)² – 4(25)(7) = 900 – 700 = 200 > 0

যেহেতু নিরূপকের মান ধনাত্মক, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,

x = -(-30) ± √2002(25) বা, x = 30 ± √(100 × 2)50 বা, x = 30 ± 10√250

লব থেকে 10 কমন নিয়ে হরের সাথে কাটাকুটি করে পাই—

বা, x = 10(3 ± √2)50 = 3 ± √25

হয়, x = 3 + √25

অথবা, x = 3 – √25

প্রশ্ন (ix) (4x – 2)² + 6x = 25

সমাধান:

প্রথমে সমীকরণটিকে সরল করি—

বা, 16x² – 16x + 4 + 6x – 25 = 0 বা, 16x² – 10x – 21 = 0

এটিকে ax² + bx + c = 0 -এর সাথে তুলনা করে পাই,

a = 16,   b = -10,   c = -21

নিরূপক (b² – 4ac) = (-10)² – 4(16)(-21) = 100 + 1344 = 1444 > 0

যেহেতু নিরূপকের মান ধনাত্মক, তাই সমীকরণটির বাস্তব বীজ আছে।

শ্রীধর আচার্যের সূত্রানুযায়ী,

x = -(-10) ± √14442(16) বা, x = 10 ± 3832

হয়, x = 10 + 3832 = 4832 = 32

অথবা, x = 10 – 3832 = -2832 = –78

প্রশ্ন (i) সাথী একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ক্ষুদ্রতম বাহুর দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 সেমি বেশি। যদি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অতিভুজের দৈর্ঘ্যের থেকে 2 সেমি কম হয়, তবে ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, সমকোণী ত্রিভুজটির ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য = x সেমি।

প্রশ্নানুসারে, অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (2x + 6) সেমি।

এবং তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য = অতিভুজের দৈর্ঘ্য – 2 = (2x + 6) – 2 = (2x + 4) সেমি।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী আমরা জানি, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

x² + (2x + 4)² = (2x + 6)²

(a + b)² -এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই—

বা, x² + 4x² + 16x + 16 = 4x² + 24x + 36 বা, x² + 4x² – 4x² + 16x – 24x + 16 – 36 = 0 বা, x² – 8x – 20 = 0

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই (এখানে a = 1, b = -8, c = -20)—

x = -(-8) ± √(-8)² – 4(1)(-20)2(1) বা, x = 8 ± √64 + 802 বা, x = 8 ± √1442 = 8 ± 122

হয়, x = 8 + 122 = 10, অথবা, x = 8 – 122 = -2

যেহেতু বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 10।

অতএব, ক্ষুদ্রতম বাহু = 10 সেমি, তৃতীয় বাহু = (2×10 + 4) = 24 সেমি এবং অতিভুজ = (2×10 + 6) = 26 সেমি।

প্রশ্ন (ii) যদি দুই অঙ্কের একটি ধনাত্মক সংখ্যাকে উহার এককের ঘরের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফল 189 হয় এবং দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ হয়, তবে এককের ঘরের অঙ্কটি নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক = x

প্রশ্নানুসারে, দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্কের দ্বিগুণ, অর্থাৎ = 2x

সংখ্যাটি গঠন করলে পাই: 10 × (দশকের অঙ্ক) + (এককের অঙ্ক)

সংখ্যাটি = 10(2x) + x = 20x + x = 21x

শর্তানুসারে, সংখ্যাটিকে এককের অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে 189 হয়।

21x × x = 189 বা, 21x² = 189 বা, x² = 1899211 বা, x² = 9 বা, x = ±3

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক, তাই এককের অঙ্কটি ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং, x = 3।

প্রশ্ন (iii) সালমার গতিবেগ অনীকের গতিবেগের থেকে 1 মি/সে. বেশি। 180 মিটার দৌড়োতে সালমা অনীকের থেকে 2 সেকেন্ড কম সময় নেয়। অনীকের গতিবেগ প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, অনীকের গতিবেগ = x মিটার/সেকেন্ড।

তাহলে সালমার গতিবেগ হবে = (x + 1) মিটার/সেকেন্ড।

180 মিটার দৌড়োতে অনীকের সময় লাগে = 180x সেকেন্ড।

180 মিটার দৌড়োতে সালমার সময় লাগে = 180x + 1 সেকেন্ড।

শর্তানুসারে, সালমার 2 সেকেন্ড কম সময় লাগে।

180x – 180x + 1 = 2 বা, 180 [ 1x – 1x + 1 ] = 2 বা, 180 [ (x + 1) – xx(x + 1) ] = 2 বা, 180x² + x = 2

কোণাকুণি গুণ ও 2 দিয়ে কাটাকুটি করে পাই—

বা, x² + x = 90 বা, x² + x – 90 = 0

শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই (এখানে a = 1, b = 1, c = -90)—

x = -1 ± √(1)² – 4(1)(-90)2(1) বা, x = -1 ± √1 + 3602 = -1 ± √3612 বা, x = -1 ± 192

হয়, x = 182 = 9, অথবা x = -202 = -10

গতিবেগ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 9।

প্রশ্ন (iv) আমাদের পাড়ায় একটি বর্গক্ষেত্রাকার পার্ক আছে। ওই পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্যের থেকে 5 মিটার বেশি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ও ওই পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে 3 মিটার কম প্রস্থবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল ওই বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 বর্গমিটার কম হলে, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার।

অতএব, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল = x² বর্গমিটার।

আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের দৈর্ঘ্য = (x + 5) মিটার এবং প্রস্থ = (x – 3) মিটার।

আয়তক্ষেত্রাকার পার্কটির ক্ষেত্রফল = (x + 5)(x – 3) বর্গমিটার।

শর্তানুসারে, আয়তক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফল, বর্গক্ষেত্রাকার পার্কের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ অপেক্ষা 78 কম।

(x + 5)(x – 3) = 2x² – 78 বা, x² – 3x + 5x – 15 = 2x² – 78 বা, x² + 2x – 15 – 2x² + 78 = 0 বা, -x² + 2x + 63 = 0

উভয়পক্ষকে (-) দিয়ে গুণ করে পাই—

বা, x² – 2x – 63 = 0

শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই (এখানে a = 1, b = -2, c = -63)—

x = -(-2) ± √(-2)² – 4(1)(-63)2(1) বা, x = 2 ± √4 + 2522 = 2 ± √2562 বা, x = 2 ± 162

হয়, x = 182 = 9, অথবা x = -142 = -7

দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 9।

প্রশ্ন (v) আমাদের গ্রামে প্রলয়বাবু তাঁর আয়তক্ষেত্রাকার জমিতে লাগানোর জন্য মোট 350 টি লঙ্কাচারা কিনলেন। শাড়ি ধরে চারাগাছ লাগাতে গিয়ে দেখলেন যে, প্রতি শাড়িতে শাড়ির সংখ্যার থেকে 24 টি করে বেশি গাছ লাগালে আরও 10 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। শাড়ির সংখ্যা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, প্রলয়বাবু মোট x টি শাড়িতে লঙ্কাচারা লাগিয়েছেন।

প্রতি শাড়িতে গাছ লাগিয়েছেন শাড়ির সংখ্যার থেকে 24 টি বেশি, অর্থাৎ (x + 24) টি।

অতএব, তিনি মোট গাছ লাগিয়েছেন = x(x + 24) টি।

শর্তানুসারে, এই গাছ লাগানোর পরও 10 টি গাছ অতিরিক্ত থেকে যায় এবং মোট গাছের সংখ্যা 350।

x(x + 24) + 10 = 350 বা, x² + 24x + 10 – 350 = 0 বা, x² + 24x – 340 = 0

শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই (এখানে a = 1, b = 24, c = -340)—

x = -24 ± √(24)² – 4(1)(-340)2(1) বা, x = -24 ± √576 + 13602 = -24 ± √19362 বা, x = -24 ± 442

হয়, x = 202 = 10, অথবা x = -682 = -34

শাড়ির সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 10।