কষে দেখি-1.3 | Class-10 | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation with one variable) | দশম শ্রেণী|

প্রশ্ন 1 দুটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, একটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হলো = x

যেহেতু সংখ্যা দুটির অন্তর 3, তাই অপর ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাটি হবে = (x + 3)

শর্তানুসারে, তাদের বর্গের সমষ্টি = 117

x² + (x + 3)² = 117

(a + b)² -এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই—

বা, x² + x² + 6x + 9 = 117 বা, 2x² + 6x + 9 – 117 = 0 বা, 2x² + 6x – 108 = 0

সমীকরণটিকে 2 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, x² + 3x – 54 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, x² + 9x – 6x – 54 = 0 বা, x(x + 9) – 6(x + 9) = 0 বা, (x + 9)(x – 6) = 0

হয়, x + 9 = 0 ⇒ x = -9

অথবা, x – 6 = 0 ⇒ x = 6

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে সংখ্যাটি “ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা”, তাই x-এর মান ঋণাত্মক (-9) হতে পারে না। অতএব, x = 6

তাহলে, অপর সংখ্যাটি হবে = 6 + 3 = 9

প্রশ্ন 2 একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 18 মি. বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 360 বর্গ মি. হলে, তার উচ্চতা নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজটির উচ্চতা = x মিটার।

প্রশ্নানুসারে, ভূমি হলো উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে 18 মিটার বেশি।

অতএব, ভূমি = (2x + 18) মিটার।

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 × ভূমি × উচ্চতা

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 × (2x + 18) × x বা, ক্ষেত্রফল = 12 × 2(x + 9) × x বা, ক্ষেত্রফল = x(x + 9) বর্গ মিটার।

শর্তানুসারে, ক্ষেত্রফল = 360 বর্গ মিটার।

x(x + 9) = 360 বা, x² + 9x – 360 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই (24 × 15 = 360)—

বা, x² + 24x – 15x – 360 = 0 বা, x(x + 24) – 15(x + 24) = 0 বা, (x + 24)(x – 15) = 0

হয়, x + 24 = 0 ⇒ x = -24

অথবা, x – 15 = 0 ⇒ x = 15

যেহেতু ত্রিভুজের উচ্চতা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = -24 গ্রহণযোগ্য নয়। অতএব, x = 15

প্রশ্ন 3 যদি একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হয়, তবে সংখ্যাটি নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি = x

সংখ্যাটির পাঁচগুণ = 5x

সংখ্যাটির বর্গের দ্বিগুণ = 2x²

শর্তানুসারে, সংখ্যাটির পাঁচগুণ তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম।

5x = 2x² – 3 বা, 2x² – 5x – 3 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই (2 × 3 = 6)—

বা, 2x² – 6x + x – 3 = 0 বা, 2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0 বা, (x – 3)(2x + 1) = 0

হয়, x – 3 = 0 ⇒ x = 3

অথবা, 2x + 1 = 0 ⇒ x = –12

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে সংখ্যাটি “অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা”, তাই x-এর মান ঋণাত্মক ভগ্নাংশ (-12) হতে পারে না। অতএব, x = 3

প্রশ্ন 4 দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.। একস্থান হতে অপর স্থানে মোটরগাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘণ্টা কম সময় লাগে। মোটরগাড়ির অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, মোটরগাড়ির গতিবেগ নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ = x কিমি./ঘণ্টা।

যেহেতু জিপগাড়ির গতিবেগ 5 কিমি./ঘণ্টা বেশি, তাই জিপগাড়ির গতিবেগ = (x + 5) কিমি./ঘণ্টা।

মোট দূরত্ব = 200 কিমি.

মোটরগাড়িতে 200 কিমি. যেতে সময় লাগে = 200x ঘণ্টা।

জিপগাড়িতে 200 কিমি. যেতে সময় লাগে = 200x + 5 ঘণ্টা।

শর্তানুসারে, জিপগাড়ির সময় মোটরগাড়ির চেয়ে 2 ঘণ্টা কম।

200x – 200x + 5 = 2 বা, 200 [ 1x – 1x + 5 ] = 2 বা, 200 [ (x + 5) – xx(x + 5) ] = 2 বা, 200 × 5x² + 5x = 2

উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করে কাটাকুটি করে পাই—

বা, 1000x² + 5x = 2 বা, 2(x² + 5x) = 1000 বা, x² + 5x = 500 বা, x² + 5x – 500 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই (25 × 20 = 500)—

বা, x² + 25x – 20x – 500 = 0 বা, x(x + 25) – 20(x + 25) = 0 বা, (x + 25)(x – 20) = 0

হয়, x + 25 = 0 ⇒ x = -25

অথবা, x – 20 = 0 ⇒ x = 20

গতিবেগ কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = -25 গ্রহণযোগ্য নয়। অতএব, x = 20

প্রশ্ন 5 অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা 180 মিটার। অমিতাদের আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 180 মিটার।

অতএব, অর্ধপরিসীমা (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 1802 = 90 মিটার।

ধরি, জমিটির দৈর্ঘ্য = x মিটার।

তাহলে, প্রস্থ হবে = (90 – x) মিটার।

শর্তানুসারে, জমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গমিটার।

x(90 – x) = 2000 বা, 90x – x² = 2000

সব পদ ডানদিকে নিয়ে গেলে—

বা, x² – 90x + 2000 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই (50 × 40 = 2000 এবং 50 + 40 = 90)—

বা, x² – 50x – 40x + 2000 = 0 বা, x(x – 50) – 40(x – 50) = 0 বা, (x – 50)(x – 40) = 0

হয়, x – 50 = 0 ⇒ x = 50

অথবা, x – 40 = 0 ⇒ x = 40

যেহেতু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সর্বদা প্রস্থের চেয়ে বড়ো হয়, তাই দৈর্ঘ্য = 50 মিটার হলে, প্রস্থ হবে (90 – 50) = 40 মিটার।

প্রশ্ন 6 দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটির এককের ঘরের অঙ্ক = x

যেহেতু দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম, তাই দশকের ঘরের অঙ্ক = (x – 3)

আমরা জানি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করার নিয়ম হলো: (10 × দশক স্থানীয় অঙ্ক) + (একক স্থানীয় অঙ্ক)।

অতএব, সংখ্যাটি = 10(x – 3) + x = 10x – 30 + x = 11x – 30

অঙ্ক দুটির গুণফল = x(x – 3)

শর্তানুসারে, সংখ্যাটি থেকে অঙ্ক দুটির গুণফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়।

(11x – 30) – x(x – 3) = 15 বা, 11x – 30 – x² + 3x = 15 বা, -x² + 14x – 30 – 15 = 0 বা, -x² + 14x – 45 = 0

উভয়পক্ষকে (-) দিয়ে গুণ করে পাই—

বা, x² – 14x + 45 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই (9 × 5 = 45 এবং 9 + 5 = 14)—

বা, x² – 9x – 5x + 45 = 0 বা, x(x – 9) – 5(x – 9) = 0 বা, (x – 9)(x – 5) = 0

হয়, x – 9 = 0 ⇒ x = 9

অথবা, x – 5 = 0 ⇒ x = 5

যেহেতু 9 এবং 5 উভয়ই ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা এবং 3-এর চেয়ে বড়ো, তাই উভয় মানই গ্রহণযোগ্য।

প্রশ্ন 7 আমাদের স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি 1119 মিনিটে পূর্ণ হয়। যদি নলদুটি আলাদাভাবে খোলা থাকে তবে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করতে একটি নল অপর নলটি থেকে 5 মিনিট বেশি সময় নেয়। প্রত্যেকটি নল পৃথকভাবে চৌবাচ্চাটিকে কত সময়ে পূর্ণ করবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, প্রথম নলটি একাকী চৌবাচ্চাটিকে x মিনিটে পূর্ণ করতে পারে।

যেহেতু অপর নলটি 5 মিনিট বেশি সময় নেয়, তাই দ্বিতীয় নলটি একাকী পূর্ণ করতে সময় নেবে = (x + 5) মিনিট।

অতএব, 1 মিনিটে প্রথম নলটি পূর্ণ করে চৌবাচ্চার 1x অংশ।

এবং 1 মিনিটে দ্বিতীয় নলটি পূর্ণ করে চৌবাচ্চার 1x + 5 অংশ।

দুটি নল একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে ( 1x + 1x + 5 ) অংশ।

দেওয়া আছে, নল দুটি একত্রে চৌবাচ্চাটিকে 1119 মিনিট বা 1009 মিনিটে পূর্ণ করে।

অর্থাৎ, তারা একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে 9100 অংশ।

শর্তানুসারে,

1x + 1x + 5 = 9100 বা, x + 5 + xx(x + 5) = 9100 বা, 2x + 5x² + 5x = 9100

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, 9x² + 45x = 200x + 500 বা, 9x² + 45x – 200x – 500 = 0 বা, 9x² – 155x – 500 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই (180 – 25 = 155)—

বা, 9x² – 180x + 25x – 500 = 0 বা, 9x(x – 20) + 25(x – 20) = 0 বা, (x – 20)(9x + 25) = 0

হয়, x – 20 = 0 ⇒ x = 20

অথবা, 9x + 25 = 0 ⇒ x = –259

যেহেতু সময় কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 20

প্রশ্ন 8 পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

ধরি, পর্ণা একাকী কাজটি সম্পন্ন করতে পারে x দিনে।

যেহেতু পীযূষের 6 দিন বেশি সময় লাগে, তাই পীযূষ একাকী কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে = (x + 6) দিনে।

অতএব, 1 দিনে পর্ণা কাজটির 1x অংশ করে।

এবং 1 দিনে পীযূষ কাজটির 1x + 6 অংশ করে।

তারা একত্রে 1 দিনে করে ( 1x + 1x + 6 ) অংশ।

দেওয়া আছে, তারা একত্রে 4 দিনে পুরো কাজটি সম্পন্ন করে। অর্থাৎ তারা একত্রে 1 দিনে কাজটির 14 অংশ করে।

শর্তানুসারে,

1x + 1x + 6 = 14 বা, x + 6 + xx(x + 6) = 14 বা, 2x + 6x² + 6x = 14

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, x² + 6x = 4(2x + 6) বা, x² + 6x = 8x + 24 বা, x² + 6x – 8x – 24 = 0 বা, x² – 2x – 24 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই (6 × 4 = 24)—

বা, x² – 6x + 4x – 24 = 0 বা, x(x – 6) + 4(x – 6) = 0 বা, (x – 6)(x + 4) = 0

হয়, x – 6 = 0 ⇒ x = 6

অথবা, x + 4 = 0 ⇒ x = -4

যেহেতু দিন সংখ্যা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 6

প্রশ্ন 9 কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করি।

সমাধান:

ধরি, কমার পূর্বে প্রতি ডজন (12 টি) কলমের মূল্য ছিল x টাকা।

তাহলে, মূল্য কমার পর প্রতি ডজন কলমের নতুন মূল্য হলো = (x – 6) টাকা।

পূর্বে x টাকায় পাওয়া যেত 1 ডজন কলম, অর্থাৎ 30 টাকায় পাওয়া যেত = 30x ডজন কলম।

বর্তমানে (x – 6) টাকায় পাওয়া যায় 1 ডজন কলম, অর্থাৎ 30 টাকায় পাওয়া যায় = 30x – 6 ডজন কলম।

শর্তানুসারে, বর্তমান কলমের পরিমাণ পূর্বের পরিমাণের চেয়ে 3টি বেশি।

আমরা জানি, 3টি কলম = 312 ডজন = 14 ডজন।

30x – 6 – 30x = 14 বা, 30 [ 1x – 6 – 1x ] = 14 বা, 30 [ x – (x – 6)x(x – 6) ] = 14 বা, 30 [ 6x² – 6x ] = 14 বা, 180x² – 6x = 14

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, x² – 6x = 720 বা, x² – 6x – 720 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই (30 × 24 = 720)—

বা, x² – 30x + 24x – 720 = 0 বা, x(x – 30) + 24(x – 30) = 0 বা, (x – 30)(x + 24) = 0

হয়, x – 30 = 0 ⇒ x = 30

অথবা, x + 24 = 0 ⇒ x = -24

যেহেতু কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 30

প্রশ্ন (i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা —
(a) 1 টি      (b) 2 টি      (c) 3 টি      (d) কোনোটিই নয়

সমাধান: আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়, তাই এর সর্বদা 2 টি বীজ থাকে।

প্রশ্ন (ii) ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণ হলে —
(a) b ≠ 0      (b) c ≠ 0      (c) a ≠ 0      (d) কোনোটিই নয়

সমাধান: দ্বিঘাত সমীকরণ হওয়ার প্রধান শর্ত হলো x² -এর সহগ কখনোই শূন্য হওয়া চলবে না। অর্থাৎ a ≠ 0 হতে হবে।

প্রশ্ন (iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত —
(a) 1      (b) 2      (c) 3      (d) কোনোটিই নয়

সমাধান: ‘দ্বিঘাত’ কথাটির অর্থই হলো যার ঘাত (power) 2। তাই চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হবে।

প্রশ্ন (iv) 4(5x² – 7x + 2) = 5(4x² – 6x + 3) সমীকরণটি একটি —
(a) রৈখিক সমীকরণ      (b) দ্বিঘাত সমীকরণ      (c) ত্রিঘাত সমীকরণ      (d) কোনোটিই নয়

সমাধান: সমীকরণটিকে গুণ করে সরল করলে পাই—

20x² – 28x + 8 = 20x² – 30x + 15 বা, 20x² – 20x² – 28x + 30x + 8 – 15 = 0 বা, 2x – 7 = 0

এখানে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1, তাই এটি একটি রৈখিক (একঘাত) সমীকরণ।

প্রশ্ন (v) x²x = 6 সমীকরণটির বীজ/বীজদ্বয় —
(a) 0      (b) 6      (c) 0, 6      (d) -6

সমাধান:

x²x = 6

যেহেতু হরে x আছে, তাই x ≠ 0 হতে হবে। লব ও হরের x কেটে দিলে পাই—

বা, x = 6

এটি একটি রৈখিক সমীকরণ, তাই এর একটিই বীজ (6) পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন (i) (x – 3)² = x² – 6x + 9 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

সমাধান: বামপক্ষকে সূত্রে ভাঙলে পাই (x – 3)² = x² – 6x + 9, যা ডানপক্ষের একদম সমান। অর্থাৎ সমীকরণের উভয়পক্ষ সমান। এটি কোনো সমীকরণ নয়, এটি একটি অভেদ (Identity)।

প্রশ্ন (ii) x² = 25 সমীকরণটির একটিমাত্র বীজ 5।

সমাধান:

x² = 25 বা, x = ±√25 ⇒ x = 5, -5

সমীকরণটির দুটি বীজ আছে (5 এবং -5), একটি নয়।

প্রশ্ন (i) যদি ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির a = 0 এবং b ≠ 0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি __________ সমীকরণ হবে।

সমাধান: a = 0 বসালে x²-এর পদটি বাদ চলে যায় এবং সমীকরণটি দাঁড়ায় bx + c = 0। এটি একটি একঘাত সমীকরণ বা রৈখিক সমীকরণ।

প্রশ্ন (ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হলো __________।

সমাধান: বীজ দুটি 1 হলে উৎপাদকগুলি হবে (x – 1) এবং (x – 1)।

অতএব সমীকরণটি হবে: (x – 1)(x – 1) = 0 বা, x² – x – x + 1 = 0 বা, x² – 2x + 1 = 0

প্রশ্ন (iii) x² = 6x সমীকরণটির বীজদ্বয় __________ ও __________।

সমাধান:

x² = 6x বা, x² – 6x = 0 বা, x(x – 6) = 0

হয় x = 0 অথবা x – 6 = 0 ⇒ x = 6

প্রশ্ন (i) x² + ax + 3 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 1 হলে, a -এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

যেহেতু 1 হলো প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ, তাই x = 1 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

সমীকরণে x = 1 বসিয়ে পাই—

(1)² + a(1) + 3 = 0 বা, 1 + a + 3 = 0 বা, a + 4 = 0 বা, a = -4

প্রশ্ন (ii) x² – (2 + b)x + 6 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।

সমাধান:

যেহেতু 2 হলো প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ, তাই x = 2 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

(2)² – (2 + b)(2) + 6 = 0 বা, 4 – 4 – 2b + 6 = 0 বা, -2b + 6 = 0 বা, 2b = 6 বা, b = 3

এবার b-এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসালে পাই—

x² – (2 + 3)x + 6 = 0 বা, x² – 5x + 6 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, x² – 3x – 2x + 6 = 0 বা, x(x – 3) – 2(x – 3) = 0 বা, (x – 3)(x – 2) = 0

হয়, x = 3 অথবা, x = 2

যেহেতু একটি বীজ 2 দেওয়া আছে, তাই অপর বীজটি হবে 3।

প্রশ্ন (iii) 2x² + kx + 4 = 0 সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।

সমাধান:

যেহেতু 2 হলো প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ, তাই x = 2 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

2(2)² + k(2) + 4 = 0 বা, 2(4) + 2k + 4 = 0 বা, 8 + 2k + 4 = 0 বা, 2k + 12 = 0 বা, 2k = -12 ⇒ k = -6

এবার k-এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসালে পাই—

2x² – 6x + 4 = 0

2 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, x² – 3x + 2 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, x² – 2x – x + 2 = 0 বা, x(x – 2) – 1(x – 2) = 0 বা, (x – 2)(x – 1) = 0

হয়, x = 2 অথবা, x = 1

যেহেতু একটি বীজ 2 দেওয়া আছে, তাই অপর বীজটি হবে 1।

প্রশ্ন (iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার অন্যোন্যকের অন্তর 920, সমীকরণটি লিখি।

সমাধান:

ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি হলো x

তাহলে এর অন্যোন্যক (reciprocal) হবে 1x

আমরা জানি, প্রকৃত ভগ্নাংশ সর্বদা 1-এর চেয়ে ছোট হয় এবং এর অন্যোন্যক 1-এর চেয়ে বড়ো (অপ্রকৃত ভগ্নাংশ) হয়। তাই অন্যোন্যকটি প্রকৃত ভগ্নাংশ অপেক্ষা বড়ো।

শর্তানুসারে,

1x – x = 920

প্রশ্ন (v) ax² + bx + 35 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a এবং b -এর মান লিখি।

সমাধান:

যেহেতু -5 এবং -7 উভয়ই সমীকরণটির বীজ, তাই x = -5 এবং x = -7 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

প্রথমে x = -5 বসিয়ে পাই—

a(-5)² + b(-5) + 35 = 0 বা, 25a – 5b = -35

5 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, 5a – b = -7 …………… (i)

এবার x = -7 বসিয়ে পাই—

a(-7)² + b(-7) + 35 = 0 বা, 49a – 7b = -35

7 দিয়ে ভাগ করে পাই—

বা, 7a – b = -5 …………… (ii)

এখন, (ii) নং সমীকরণ থেকে (i) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই—

(7a – b) – (5a – b) = -5 – (-7) বা, 7a – b – 5a + b = -5 + 7 বা, 2a = 2 ⇒ a = 1

a-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—

5(1) – b = -7 বা, 5 – b = -7 বা, -b = -7 – 5 বা, -b = -12 ⇒ b = 12