কষে দেখি-1.2 | Class-10 | একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation with one variable) | দশম শ্রেণী|

প্রশ্ন 2(i) k-এর কোন্ মানের জন্য 7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 23 হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

যেহেতু 23 প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ, তাই x = 23 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

সমীকরণে x = 23 বসিয়ে পাই,

7(23)² + k(23) – 3 = 0 বা, 7 × 49 + 2k3 – 3 = 0 বা, 289 + 2k3 – 3 = 0

3 এবং 289 -কে ডানদিকে নিয়ে গেলে—

বা, 2k3 = 3 – 289 বা, 2k3 = 27 – 289 বা, 2k3 = –19

কোণাকুণি গুণ ও কাটাকুটি করে পাই—

বা, 2k = –39 বা, 2k = –13 বা, k = –16

প্রশ্ন 2(ii) k-এর কোন্ মানের জন্য x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:

যেহেতু -a প্রদত্ত সমীকরণের একটি বীজ, তাই x = -a বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

সমীকরণে x = -a বসিয়ে পাই,

(-a)² + 3a(-a) + k = 0 বা, a² – 3a² + k = 0 বা, -2a² + k = 0 বা, k = 2a²

প্রশ্ন 3 যদি ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ 23 এবং -3 হয়, তবে a ও b এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান:

যেহেতু -3 সমীকরণটির একটি বীজ, তাই x = -3 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

a(-3)² + 7(-3) + b = 0 বা, 9a – 21 + b = 0 বা, b = 21 – 9a ………… (i)

আবার, 23 -ও সমীকরণটির অপর একটি বীজ, তাই x = 23 বসিয়ে পাই:

a(23)² + 7(23) + b = 0 বা, 4a9 + 143 + b = 0

পুরো সমীকরণটিকে 9 দিয়ে গুণ করে পাই—

4a + 42 + 9b = 0

এখন (i) নং থেকে b-এর মান এখানে বসিয়ে পাই—

4a + 42 + 9(21 – 9a) = 0 বা, 4a + 42 + 189 – 81a = 0 বা, -77a + 231 = 0 বা, 77a = 231 বা, a = 23177 = 3

এবার a-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই—

b = 21 – 9(3) বা, b = 21 – 27 বা, b = -6

প্রশ্ন (i) 3y² – 20 = 160 – 2y²

সমাধান:

y যুক্ত পদগুলোকে বামদিকে এবং সংখ্যাগুলোকে ডানদিকে নিয়ে পাই—

বা, 3y² + 2y² = 160 + 20 বা, 5y² = 180 বা, y² = 1805 বা, y² = 36 বা, y = ±√36 বা, y = ±6

প্রশ্ন (ii) (2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47

সমাধান:

(a + b)² -এর সূত্র প্রয়োগ করে পাই—

বা, (4x² + 4x + 1) + (x² + 2x + 1) = 6x + 47 বা, 5x² + 6x + 2 = 6x + 47 বা, 5x² + 6x – 6x = 47 – 2 বা, 5x² = 45 বা, x² = 455 বা, x² = 9 বা, x = ±√9 বা, x = ±3

প্রশ্ন (iii) (x – 7)(x – 9) = 195

সমাধান:

বামদিকের রাশিদুটি গুণ করে পাই—

বা, x² – 9x – 7x + 63 = 195 বা, x² – 16x + 63 – 195 = 0 বা, x² – 16x – 132 = 0

এখন 132 কে ভেঙে (22 × 6) মিডিল টার্ম (Middle Term) ফ্যাক্টর করি—

বা, x² – (22 – 6)x – 132 = 0 বা, x² – 22x + 6x – 132 = 0 বা, x(x – 22) + 6(x – 22) = 0 বা, (x – 22)(x + 6) = 0

হয়, x – 22 = 0 ⇒ x = 22

অথবা, x + 6 = 0 ⇒ x = -6

প্রশ্ন (iv) 3x – 24x = x3 (x ≠ 0)

সমাধান:

বামপক্ষে লসাগু করে পাই—

বা, 3x² – 24x = x3

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, 3(3x² – 24) = x × x বা, 9x² – 72 = x² বা, 9x² – x² = 72 বা, 8x² = 72 বা, x² = 728 বা, x² = 9 বা, x = ±3

প্রশ্ন (v) x3 + 3x = 15x (x ≠ 0)

সমাধান:

x যুক্ত হরগুলোকে একদিকে নিয়ে যাই—

বা, x3 = 15x – 3x বা, x3 = 15 – 3x বা, x3 = 12x

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, x² = 36 বা, x = ±√36 বা, x = ±6

প্রশ্ন (vi) 10x – 1x = 3 (x ≠ 0)

সমাধান:

বামপক্ষে লসাগু করে পাই—

বা, 10x² – 1x = 3

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, 10x² – 1 = 3x বা, 10x² – 3x – 1 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, 10x² – 5x + 2x – 1 = 0 বা, 5x(2x – 1) + 1(2x – 1) = 0 বা, (2x – 1)(5x + 1) = 0

হয়, 2x – 1 = 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 12

অথবা, 5x + 1 = 0 ⇒ 5x = -1 ⇒ x = –15

প্রশ্ন (vii) 2x² – 5x + 2 = 0 (x ≠ 0)

সমাধান:

বামপক্ষে লসাগু (x²) করে পাই—

বা, 2 – 5x + 2x²x² = 0 বা, 2x² – 5x + 2 = 0 × x² বা, 2x² – 5x + 2 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, 2x² – 4x – x + 2 = 0 বা, 2x(x – 2) – 1(x – 2) = 0 বা, (x – 2)(2x – 1) = 0

হয়, x – 2 = 0 ⇒ x = 2

অথবা, 2x – 1 = 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 12

প্রশ্ন (viii) x – 2x + 2 + 6(x – 2x – 6) = 1 (x ≠ -2, 6)

সমাধান:

বা, x – 2x + 2 + 6(x – 2)x – 6 = 1 বা, x – 2x + 2 + 6x – 12x – 6 = 1

বামপক্ষে লসাগু করে পাই—

বা, (x – 2)(x – 6) + (6x – 12)(x + 2)(x + 2)(x – 6) = 1

লব ও হর গুণ করে পাই—

বা, (x² – 8x + 12) + (6x² + 12x – 12x – 24)x² – 4x – 12 = 1 বা, 7x² – 8x – 12x² – 4x – 12 = 1

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, 7x² – 8x – 12 = x² – 4x – 12 বা, 7x² – x² – 8x + 4x – 12 + 12 = 0 বা, 6x² – 4x = 0 বা, 2x(3x – 2) = 0

হয়, 2x = 0 ⇒ x = 0

অথবা, 3x – 2 = 0 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = 23

প্রশ্ন (ix) 1x – 3 – 1x + 5 = 16 (x ≠ 3, -5)

সমাধান:

বামপক্ষে লসাগু করে পাই—

বা, (x + 5) – (x – 3)(x – 3)(x + 5) = 16 বা, x + 5 – x + 3x² + 5x – 3x – 15 = 16 বা, 8x² + 2x – 15 = 16

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, x² + 2x – 15 = 48 বা, x² + 2x – 15 – 48 = 0 বা, x² + 2x – 63 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, x² + 9x – 7x – 63 = 0 বা, x(x + 9) – 7(x + 9) = 0 বা, (x + 9)(x – 7) = 0

হয়, x + 9 = 0 ⇒ x = -9

অথবা, x – 7 = 0 ⇒ x = 7

প্রশ্ন (x) xx + 1 + x + 1x = 2112 (x ≠ 0, -1)

সমাধান:

ধরি, xx + 1 = a, তাহলে x + 1x = 1a

প্রদত্ত সমীকরণে মান বসিয়ে পাই—

a + 1a = 2512 বা, a² + 1a = 2512

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, 12(a² + 1) = 25a বা, 12a² – 25a + 12 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, 12a² – 16a – 9a + 12 = 0 বা, 4a(3a – 4) – 3(3a – 4) = 0 বা, (3a – 4)(4a – 3) = 0

হয়, 3a – 4 = 0 ⇒ a = 43

অথবা, 4a – 3 = 0 ⇒ a = 34

এখন, a = 43 হলে,

xx + 1 = 43 বা, 4x + 4 = 3x বা, 4x – 3x = -4 ⇒ x = -4

আবার, a = 34 হলে,

xx + 1 = 34 বা, 4x = 3x + 3 বা, 4x – 3x = 3 ⇒ x = 3

প্রশ্ন (xi) ax + ba + bx = cx + dc + dx   (a ≠ b, c ≠ d)

সমাধান:

উভয়পক্ষে কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, (ax + b)(c + dx) = (cx + d)(a + bx) বা, acx + adx² + bc + bdx = acx + bcx² + ad + bdx

উভয়পক্ষের সমান পদগুলোকে কেটে পাই—

বা, acx + adx² + bc + bdx = acx + bcx² + ad + bdx বা, adx² + bc = bcx² + ad

x যুক্ত পদগুলোকে বামদিকে এবং ধ্রুবক পদগুলোকে ডানদিকে এনে পাই—

বা, adx² – bcx² = ad – bc বা, x²(ad – bc) = (ad – bc) বা, x² = ad – bc1ad – bc1 বা, x² = 1 বা, x = ±√1 বা, x = ±1

প্রশ্ন (xii) (2x + 1) + 32x + 1 = 4   (x ≠ –12)

সমাধান:

ধরি, (2x + 1) = a

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়—

a + 3a = 4 বা, a² + 3a = 4

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, a² + 3 = 4a বা, a² – 4a + 3 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, a² – 3a – a + 3 = 0 বা, a(a – 3) – 1(a – 3) = 0 বা, (a – 3)(a – 1) = 0

হয়, a – 3 = 0 ⇒ a = 3

অথবা, a – 1 = 0 ⇒ a = 1

এখন, a = 3 হলে,

2x + 1 = 3 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 2121 ⇒ x = 1

আবার, a = 1 হলে,

2x + 1 = 1 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0

প্রশ্ন (xiii) x + 12 + 2x + 1 = x + 13 + 3x + 1 – 56   (x ≠ -1)

সমাধান:

ধরি, x + 1 = a

সমীকরণটিতে মান বসিয়ে পাই—

a2 + 2a = a3 + 3a – 56

সব a যুক্ত পদ বামদিকে নিয়ে আসি—

বা, a2 – a3 + 2a – 3a = –56 বা, 3a – 2a6 + 2 – 3a = –56 বা, a6 – 1a = –56 বা, a² – 66a = –56

উভয়পক্ষের হর থেকে 6 কেটে দিয়ে পাই—

বা, a² – 66a = –56 বা, a² – 6a = -5 বা, a² – 6 = -5a বা, a² + 5a – 6 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, a² + 6a – a – 6 = 0 বা, a(a + 6) – 1(a + 6) = 0 বা, (a + 6)(a – 1) = 0

হয়, a + 6 = 0 ⇒ a = -6

অথবা, a – 1 = 0 ⇒ a = 1

মান ফিরিয়ে বসিয়ে—

x + 1 = -6 ⇒ x = -7 x + 1 = 1 ⇒ x = 0

প্রশ্ন (xiv) 12x + 173x + 1 – 2x + 15x + 7 = 315

সমাধান:

বামপক্ষে লসাগু করে পাই—

বা, (12x + 17)(x + 7) – (2x + 15)(3x + 1)(3x + 1)(x + 7) = 165

লব ও হর গুণ করে পাই—

বা, (12x² + 84x + 17x + 119) – (6x² + 2x + 45x + 15)3x² + 21x + x + 7 = 165 বা, 12x² + 101x + 119 – 6x² – 47x – 153x² + 22x + 7 = 165 বা, 6x² + 54x + 1043x² + 22x + 7 = 165

লব থেকে 2 কমন নিয়ে 16-এর সাথে কাটাকুটি করে পাই—

বা, 21(3x² + 27x + 52)3x² + 22x + 7 = 1685 বা, 3x² + 27x + 523x² + 22x + 7 = 85

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, 8(3x² + 22x + 7) = 5(3x² + 27x + 52) বা, 24x² + 176x + 56 = 15x² + 135x + 260 বা, 24x² – 15x² + 176x – 135x + 56 – 260 = 0 বা, 9x² + 41x – 204 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর (204 × 9 = 1836, এবং 68 × 27 = 1836) করে পাই—

বা, 9x² + 68x – 27x – 204 = 0 বা, x(9x + 68) – 3(9x + 68) = 0 বা, (9x + 68)(x – 3) = 0

হয়, 9x + 68 = 0 ⇒ 9x = -68 ⇒ x = –689 = -759

অথবা, x – 3 = 0 ⇒ x = 3

প্রশ্ন (xv) x + 3x – 3 + 6(x – 3x + 3) = 5   (x ≠ 3, -3)

সমাধান:

ধরি, x + 3x – 3 = a, তাহলে x – 3x + 3 = 1a

সমীকরণে মান বসিয়ে পাই—

a + 6(1a) = 5 বা, a + 6a = 5 বা, a² + 6a = 5

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, a² + 6 = 5a বা, a² – 5a + 6 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, a² – 3a – 2a + 6 = 0 বা, a(a – 3) – 2(a – 3) = 0 বা, (a – 3)(a – 2) = 0

হয়, a = 3 অথবা, a = 2

এখন, a = 3 হলে,

x + 3x – 3 = 3 বা, 3x – 9 = x + 3 বা, 2x = 12 ⇒ x = 12621 ⇒ x = 6

আবার, a = 2 হলে,

x + 3x – 3 = 2 বা, 2x – 6 = x + 3 বা, 2x – x = 3 + 6 ⇒ x = 9

প্রশ্ন (xvi) 1a + b + x = 1a + 1b + 1x   (x ≠ 0, -(a+b))

সমাধান:

x যুক্ত পদগুলোকে বামদিকে নিয়ে পাই—

বা, 1a + b + x – 1x = 1a + 1b

উভয়পক্ষে লসাগু করে পাই—

বা, x – (a + b + x)x(a + b + x) = b + aab বা, x – a – b – xax + bx + x² = a + bab বা, -(a + b)x² + ax + bx = (a + b)ab

লব থেকে (a + b) কাটাকুটি করে পাই—

বা, –(a + b)1x² + ax + bx = (a + b)1ab বা, -1x² + ax + bx = 1ab

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, x² + ax + bx = -ab বা, x² + ax + bx + ab = 0 বা, x(x + a) + b(x + a) = 0 বা, (x + a)(x + b) = 0

হয়, x + a = 0 ⇒ x = -a

অথবা, x + b = 0 ⇒ x = -b

প্রশ্ন (xvii) x + ax – a – x – ax + a = 56   (x ≠ a, -a)

সমাধান:

ধরি, x + ax – a = p, তাহলে x – ax + a = 1p

p – 1p = 56 বা, p² – 1p = 56 বা, 6(p² – 1) = 5p বা, 6p² – 5p – 6 = 0

মিডিল টার্ম ফ্যাক্টর করে পাই—

বা, 6p² – 9p + 4p – 6 = 0 বা, 3p(2p – 3) + 2(2p – 3) = 0 বা, (2p – 3)(3p + 2) = 0

হয়, 2p – 3 = 0 ⇒ 2p = 3 ⇒ p = 32

অথবা, 3p + 2 = 0 ⇒ 3p = -2 ⇒ p = –23

এখন, p = 32 হলে,

x + ax – a = 32 বা, 3x – 3a = 2x + 2a বা, 3x – 2x = 2a + 3a ⇒ x = 5a

আবার, p = –23 হলে,

x + ax – a = –23 বা, 3x + 3a = -2x + 2a বা, 3x + 2x = 2a – 3a বা, 5x = -a ⇒ x = –a5

প্রশ্ন (xviii) 1x – 1x + b = 1a – 1a + b   (x ≠ 0, -b)

সমাধান:

উভয়পক্ষে লসাগু করে পাই—

বা, (x + b) – xx(x + b) = (a + b) – aa(a + b) বা, x + b – xx² + bx = a + b – aa² + ab বা, bx² + bx = ba² + ab

লব থেকে b কাটাকুটি করে পাই—

বা, b1x² + bx = b1a² + ab বা, x² + bx = a² + ab বা, x² – a² + bx – ab = 0 বা, (x – a)(x + a) + b(x – a) = 0 বা, (x – a)(x + a + b) = 0

হয়, x – a = 0 ⇒ x = a

অথবা, x + a + b = 0 ⇒ x = -(a + b)

প্রশ্ন (xix) 1(x – 1)(x – 2) + 1(x – 2)(x – 3) + 1(x – 3)(x – 4) = 16   (x ≠ 1, 2, 3, 4)

সমাধান:

আমরা জানি, 1(x – 1)(x – 2) = 1x – 2 – 1x – 1

এই নিয়মে ভেঙে পাই—

বা, (1x – 2 – 1x – 1) + (1x – 3 – 1x – 2) + (1x – 4 – 1x – 3) = 16

বিপরীত চিহ্নযুক্ত পদগুলো কেটে দিলে শুধু প্রথম এবং শেষ পদটি পড়ে থাকবে—

বা, –1x – 1 + 1x – 4 = 16 বা, 1x – 4 – 1x – 1 = 16

লসাগু করে পাই—

বা, (x – 1) – (x – 4)(x – 4)(x – 1) = 16 বা, x – 1 – x + 4x² – 5x + 4 = 16 বা, 3x² – 5x + 4 = 16

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, x² – 5x + 4 = 18 বা, x² – 5x – 14 = 0 বা, x² – 7x + 2x – 14 = 0 বা, x(x – 7) + 2(x – 7) = 0 বা, (x – 7)(x + 2) = 0

হয়, x – 7 = 0 ⇒ x = 7

অথবা, x + 2 = 0 ⇒ x = -2

প্রশ্ন (xx) ax – a + bx – b = 2cx – c   (x ≠ a, b, c)

সমাধান:

বা, ax – a + bx – b = cx – c + cx – c

ডানদিকের একটি পদ বামদিকে এবং বামদিকের একটি পদ ডানদিকে নিয়ে যাই—

বা, ax – a – cx – c = cx – c – bx – b

উভয়পক্ষে লসাগু করে পাই—

বা, a(x – c) – c(x – a)(x – a)(x – c) = c(x – b) – b(x – c)(x – b)(x – c) বা, ax – ac – cx + ac(x – a)(x – c) = cx – bc – bx + bc(x – b)(x – c) বা, x(a – c)(x – a)(x – c) = x(c – b)(x – b)(x – c)

যেহেতু x ≠ c, তাই হর থেকে (x – c) কাটাকুটি করা যায়। এরপর সব পদ বামদিকে আনলে—

বা, x(a – c)x – a – x(c – b)x – b = 0 বা, x [ a – cx – a – c – bx – b ] = 0

হয়, x = 0

অথবা, a – cx – a – c – bx – b = 0

বা, a – cx – a = c – bx – b

কোণাকুণি গুণ করে পাই—

বা, (a – c)(x – b) = (c – b)(x – a) বা, ax – ab – cx + bc = cx – ac – bx + ab

x যুক্ত পদগুলোকে বামদিকে এবং ধ্রুবক ডানদিকে নিয়ে পাই—

বা, ax – cx – cx + bx = ab + ab – ac – bc বা, ax + bx – 2cx = 2ab – ac – bc বা, x(a + b – 2c) = 2ab – ac – bc বা, x = 2ab – ac – bca + b – 2c

প্রশ্ন (xxi) x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0

সমাধান:

বন্ধনী তুলে দিয়ে গুণ করে পাই—

বা, x² – √3x – 2x + 2√3 = 0 বা, x(x – √3) – 2(x – √3) = 0 বা, (x – √3)(x – 2) = 0

হয়, x – √3 = 0 ⇒ x = √3

অথবা, x – 2 = 0 ⇒ x = 2