অধ্যায় 4: আয়তঘন (Cuboid)
গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি ও চিত্র (Important Formulas & Diagrams)
ধরি, আয়তঘনের দৈর্ঘ্য = l, প্রস্থ = b এবং উচ্চতা = h
- সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area) = 2(lb + bh + hl) বর্গ একক
- আয়তন বা ঘনফল (Volume) = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = lbh ঘন একক
- কর্ণের দৈর্ঘ্য (Length of Diagonal) = √l2 + b2 + h2 একক
- ঘরের 4 দেওয়ালের ক্ষেত্রফল (Area of 4 walls) = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা = 2(l + b)h বর্গ একক
যে আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা সমান তাকে ঘনক বলে। ধরি, ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
- সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area) = 6 × (বাহু)2 = 6a2 বর্গ একক
- আয়তন বা ঘনফল (Volume) = (বাহু)3 = a3 ঘন একক
- কর্ণের দৈর্ঘ্য (Diagonal of Cube) = বাহু × √3 = a√3 একক
- একটি তলের ক্ষেত্রফল (Area of one face) = (বাহু)2 = a2 বর্গ একক
- একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য (Diagonal of one face) = বাহু × √2 = a√2 একক
প্রশ্ন 1 আমাদের পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনকাকার वस्तुओं নাম লিখি।
সমাধান:
আমাদের চারপাশের পরিবেশে সচরাচর দেখতে পাওয়া যায় এমন বস্তুগুলির মধ্যে থেকে উদাহরণ দেওয়া হলো:
আমাদের পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার বস্তু হলো:
- পাঠ্যবই (যেমন- গণিত প্রকাশ বই)
- পাকা ইঁট
- দেশলাই বাক্স
- জুতোর পিচবোর্ডের বাক্স
আমাদের পরিবেশের 4 টি ঘনকাকার বস্তু হলো:
- লুডোর ছক্কা
- রুবিক্স কিউব (রঙ মেলানোর চারকোনা খেলা)
- বরফের চৌকো টুকরো (Ice cube)
- চৌকো চিনির দানা (Sugar cube)
প্রশ্ন 2 একটি আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি এবং শীর্ষবিন্দুগুলির সংখ্যা যথাক্রমে লিখি।
সমাধান:
উপরের চিত্রিত আয়তঘনাকার (Cuboid) চিত্রটি পর্যবেক্ষণ করলে আমরা এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি পাই:
১. তল (Faces): একটি আয়তঘনের সমতল পিঠ বা তলের সংখ্যা মোট 6 টি।
- সামনের ও পেছনের তল: ABCD এবং EFGH
- বামদিকের ও ডানদিকের তল: ADHE এবং BCGF
- উপরের ও নিচের তল: ABFE 및 DCGH
২. ধার বা প্রান্তিকী (Edges): দুটি তল যেখানে পরস্পর মিলিত হয়, সেই সরলরেখাংশগুলোকে ধার বলা হয়। একটি আয়তঘনের মোট ধারের সংখ্যা 12 টি।
- ধারগুলি হলো: AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG এবং DH।
৩. শীর্ষবিন্দু (Vertices): ধারগুলি যেখানে কোণ তৈরি করে মিলিত হয়, সেই কৌণিক বিন্দুগুলির মোট সংখ্যা 8 tenderness
- শীর্ষবিন্দুগুলি হলো: A, B, C, D, E, F, G এবং H।
প্রশ্ন 3 একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনাকার ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ডটি রাখা যায়, সেটি হলো ওই ঘরের কর্ণ (Diagonal)।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, ঘরটির:
- দৈর্ঘ্য = 5 মিটার
- প্রস্থ = 4 মিটার
- উচ্চতা = 3 মিটার
আমরা আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সূত্র থেকে পাই:
কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(দৈর্ঘ্য)2 + (প্রস্থ)2 + (উচ্চতা)2
এখন মানগুলি বসিয়ে পাই—
সবচেয়ে লম্বা দণ্ডটির দৈর্ঘ্য = √52 + 42 + 32 = √25 + 16 + 9 = √50 = √25 × 2 = 5√2 উত্তর: ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য 5√2 মিটার।প্রশ্ন 4 একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, ঘনকের প্রতিটি তল একটি বর্গক্ষেত্র।
ধরি, ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার।
সুতরাং, ঘনকটির একটি তলের ক্ষেত্রফল হবে (বাহু)2 বা a2 বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, একটি তলের ক্ষেত্রফল = 64 বর্গমিটার।
শর্তানুসারে, a2 = 64 বা, a = √64 বা, a = 8অতএব, ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 মিটার।
আমরা জানি, ঘনকের আয়তনের সূত্র হলো: (বাহু)3
ঘনকটির আয়তন = a3 = 83 = 8 × 8 × 8 = 512 উত্তর: ঘনকটির আয়তন 512 ঘনমিটার।প্রশ্ন 5 আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘনমিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে, তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
খালের চওড়া (প্রস্থ) = 2 মিটার।
খালের গভীরতা (উচ্চতা) = 8 ডেসিমিটার। অংকটি করার সুবিধার জন্য আমরা ডেসিমিটারকে মিটারে পরিবর্তন করে নেব। আমরা জানি, 10 ডেসিমিটার = 1 মিটার।
অতএব, গভীরতা = 810 মিটার = 0.8 মিটার।মোট কাটা মাটির আয়তন = 240 ঘনমিটার।
ধরি, খালটি x মিটার লম্বা।
আমরা জানি, আয়তঘনের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
শর্তানুসারে, x × 2 × 0.8 = 240 বা, x × 1.6 = 240 বা, x = 2401.6নিচের দশমিক তোলার জন্য লবের সাথে 10 গুণ করে পাই—
বা, x = 240016এবার 16 দিয়ে 2400 কে কাটাকুটি করে পাই—
বা, x = 2400150161 বা, x = 150 উত্তর: খালটি 150 মিটার লম্বা।প্রশ্ন 6 একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি। Madhyamik 2024 (Similar Type)
সমাধান:
ধরি, ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি।
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সূত্র হলো: বাহু × √3
সুতরাং, ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3 সেমি।
প্রশ্নানুসারে, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে 4√3 সেমি।
শর্তানুসারে, a√3 = 4√3উভয়পক্ষ থেকে √3 বাদ দিয়ে পাই—
বা, a = 4অতএব, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।
এখন, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি ঘনকের 6 টি তল থাকে এবং প্রতিটি তল বর্গাকার।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র = 6 × (বাহু)2
ক্ষেত্রফল = 6a2 = 6 × (4)2 = 6 × 16 = 96 উত্তর: ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি।প্রশ্ন 7 একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো ঘনকের মোট ধারের (প্রান্তিকীর) সংখ্যা হলো 12 টি।
ধরি, ঘনকটির প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য = a সেমি।
তাহলে ঘনকের 12 টি ধারের মোট দৈর্ঘ্যের সমষ্টি হবে = 12a সেমি।
প্রশ্নানুসারে, ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি দেওয়া আছে।
শর্তানুসারে, 12a = 60 বা, a = 601212 দিয়ে 60 কে কাটাকুটি করে পাই—
বা, a = 605121 বা, a = 5অতএব, ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি।
এখন, ঘনকটির ঘনফল (আয়তন) নির্ণয় করতে হবে। ঘনফলের সূত্র হলো: (বাহু)3
ঘনকটির ঘনফল = a3 = 53 = 5 × 5 × 5 = 125 উত্তর: ঘনকটির ঘনফল 125 ঘন সেমি।প্রশ্ন 8 যদি একটি ঘনকের 6 টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি. হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
আমরা জানি, ঘনকের মোট 6 টি তল (বা পৃষ্ঠতল) থাকে এবং প্রতিটি তলই বর্গাকার হয়।
ধরি, ঘনকটির প্রতিটি বাহুর (বা ধারের) দৈর্ঘ্য = a সেমি।
তাহলে, ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল হবে = a2 বর্গ সেমি।
সুতরাং, ঘনকটির 6 টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি হবে = 6a2 বর্গ সেমি।
প্রশ্নানুসারে, এই 6 টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি দেওয়া আছে।
শর্তানুসারে, 6a2 = 216 বা, a2 = 21666 দিয়ে 216 কে কাটাকুটি করে পাই—
বা, a2 = 2163661 বা, a2 = 36যেহেতু বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক বর্গমূলটি নেব:
বা, a = √36 বা, a = 6অতএব, ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
এখন, ঘনকটির আয়তন নির্ণয় করতে হবে। ঘনকের আয়তনের সূত্র হলো: (বাহু)3
ঘনকটির আয়তন = a3 = 63 = 6 × 6 × 6 = 216 উত্তর: ঘনকটির আয়তন 216 ঘন সেমি হবে।প্রশ্ন 9 একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনকে পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত সমকোণী চৌপলটির মোট আয়তন = 432 ঘন সেমি।
যেহেতু এই চৌপলটিকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনকে পরিণত করা হয়েছে, তাই প্রতিটি ঘনকের আয়তন হবে মূল চৌপলের আয়তনের অর্ধেক।
অতএব, প্রতিটি ঘনকের আয়তন = 43222 দিয়ে 432 কে কাটাকুটি করে পাই—
প্রতিটি ঘনকের আয়তন = 43221621 = 216 ঘন সেমি।ধরি, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের (বা বাহুর) দৈর্ঘ্য = a সেমি।
আমরা জানি, ঘনকের আয়তনের সূত্র = (বাহু)3 বা a3
শর্তানুসারে, a3 = 216216 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই, $6 \times 6 \times 6 = 216$। অর্থাৎ 216 হলো 6 এর ঘন (Cube)।
বা, a = 3√216 বা, a = 3√(6 × 6 × 6) বা, a = 6 উত্তর: প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি হবে।প্রশ্ন 10 একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, মূল ঘনকটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক।
আমরা জানি, ঘনকের ঘনফল বা আয়তনের সূত্র = (বাহু)3
অতএব, মূল ঘনকটির ঘনফল (V1) = a3 ঘন একক।এখন, প্রশ্নানুসারে ঘনকটির প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো।
বাহুর দৈর্ঘ্য 50% কমানো হলে, নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করি:
পরিবর্তিত ঘনকের বাহু = a – (a -এর 50%) = a – (a × 50100) = a – (a × 12) = a – a2 = 2a – a2 = a2 একক।এখন এই পরিবর্তিত ঘনকটির ঘনফল নির্ণয় করব:
পরিবর্তিত ঘনকটির ঘনফল (V2) = (a2)3 = a38 ঘন একক।আমাদের কাছে জানতে চাওয়া হয়েছে— মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত।
নির্ণেয় অনুপাত = V1 : V2 = a3 : a38উভয়পক্ষ থেকে a3 ভাগ করে (বা কেটে) পাই—
= 1 : 18অনুপাতটিকে পূর্ণসংখ্যায় প্রকাশ করার জন্য উভয় পদকে 8 দিয়ে গুণ করি—
= (1 × 8) : (18 × 8) = 8 : 1 উত্তর: মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত হবে 8 : 1।প্রশ্ন 11 একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং উহার আয়তন 384 ঘন সেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত শর্তানুসারে, সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত = 3 : 2 : 1।
ধরি, বাক্সটির
দৈর্ঘ্য = 3x সেমি,
প্রস্থ = 2x সেমি, এবং
উচ্চতা = x সেমি (যেখানে x হলো একটি ধনাত্মক আনুপাতিক ধ্রুবক)।
আমরা জানি, সমকোণী চৌপলের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
অতএব, বাক্সটির আয়তন = (3x × 2x × x) ঘন সেমি = 6x3 ঘন সেমি।প্রশ্নানুসারে, বাক্সটির আয়তন 384 ঘন সেমি।
শর্তানুসারে, 6x3 = 384 বা, x3 = 38466 দিয়ে 384 কে কাটাকুটি করে পাই—
বা, x3 = 3846461 বা, x3 = 64 বা, x = 3√64(যেহেতু 4 × 4 × 4 = 64)
বা, x = 4এখন x-এর মান বসিয়ে বাক্সটির প্রকৃত মাত্রাগুলি নির্ণয় করি:
- দৈর্ঘ্য = 3 × 4 = 12 সেমি।
- প্রস্থ = 2 × 4 = 8 সেমি।
- উচ্চতা = 4 সেমি।
আমাদের কাছে বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল জানতে চাওয়া হয়েছে।
সমকোণী চৌপলের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র = 2 × (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ + প্রস্থ × উচ্চতা + উচ্চতা × দৈর্ঘ্য)
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 × (12 × 8 + 8 × 4 + 4 × 12) = 2 × (96 + 32 + 48) = 2 × (176) = 352 উত্তর: বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গ সেমি।প্রশ্ন 12 একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি., 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রথমেই আমরা চা-এর বাক্সটির ভিতরের আয়তন বের করব।
- বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য = 7.5 ডেসিমি.
- বাক্সের ভিতরের প্রস্থ = 6 ডেসিমি.
- বাক্সের ভিতরের উচ্চতা = 5.4 ডেসিমি.
আমরা জানি, আয়তঘনের আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
বাক্সের ভিতরের আয়তন = (7.5 × 6 × 5.4) ঘন ডেসিমি. = (45 × 5.4) ঘন ডেসিমি. = 243 ঘন ডেসিমি.অর্থাৎ, বাক্সটির মধ্যে মোট 243 ঘন ডেসিমি. চা ধরে।
এবার আমরা শুধুমাত্র চা-এর ওজন বের করব।
চা ভর্তি বাক্সটির ওজন = 52 কিগ্রা 350 গ্রাম = 52.350 কিগ্রা.
খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন = 3.75 কিগ্রা.
অতএব, শুধুমাত্র চা-এর ওজন = (52.350 – 3.750) কিগ্রা. = 48.600 কিগ্রা.আমরা জানি, 1 কিগ্রা = 1000 গ্রাম। হিসাবের সুবিধার জন্য আমরা চা-এর ওজনটিকে গ্রামে পরিণত করে নেব।
চা-এর ওজন = 48.600 × 1000 গ্রাম = 48600 গ্রাম।এখন, আমরা পেয়েছি যে 243 ঘন ডেসিমি. চা-এর মোট ওজন 48600 গ্রাম।
অতএব, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন = 48600243 গ্রাম243 দিয়ে 48600 কে কাটাকুটি করে পাই—
= 486002002431 গ্রাম = 200 গ্রাম। উত্তর: 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্রাম হবে।প্রশ্ন 13 একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি., বেধ 1 মিলিমিটার এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তবে x-এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
যেহেতু পিতলের প্লেটটির ভূমি বর্গাকার, তাই এর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরস্পর সমান হবে।
- প্লেটটির দৈর্ঘ্য = x সেমি.
- প্লেটটির প্রস্থ = x সেমি.
- প্লেটটির বেধ (উচ্চতা) = 1 মিলিমিটার।
অংকটি করার সুবিধার জন্য আমরা মিলিমিটারকে সেমিতে পরিবর্তন করে নেব। (আমরা জানি, 10 মিলিমিটার = 1 সেন্টিমিটার)।
অতএব, বেধ = 110 সেমি. = 0.1 সেমি.।এখন আমরা প্লেটটির আয়তন নির্ণয় করব:
প্লেটটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) = (x × x × 0.1) ঘন সেমি. = 0.1x2 ঘন সেমি.।প্রশ্নানুসারে, 1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম।
তাহলে, 0.1x2 ঘন সেমি. পিতলের মোট ওজন হবে = (0.1x2 × 8.4) গ্রাম = 0.84x2 গ্রাম।আমাদের প্রশ্নে প্লেটটির মোট ওজন 4725 গ্রাম দেওয়া আছে।
শর্তানুসারে, 0.84x2 = 4725 বা, x2 = 47250.84নিচের দশমিক তোলার জন্য লব ও হরকে 100 দিয়ে গুণ করে পাই—
বা, x2 = 47250084প্রথমে 21 দিয়ে কাটাকুটি করি (কারণ 84 ÷ 21 = 4 এবং 4725 ÷ 21 = 225):
বা, x2 = 47250022500844এবার 4 দিয়ে 22500 কে ভাগ করে পাই—
বা, x2 = 5625যেহেতু দৈর্ঘ্য কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই আমরা ধনাত্মক বর্গমূল নেব:
বা, x = √56255625 এর বর্গমূল নির্ণয়: আমরা জানি 70 × 70 = 4900 এবং 80 × 80 = 6400, আর শেষে 25 আছে, তাই এটি 75 এর বর্গ। (75 × 75 = 5625)।
বা, x = 75 উত্তর: x-এর মান হবে 75। (অর্থাৎ প্লেটটির দৈর্ঘ্য 75 সেমি.)।প্রশ্ন 14 চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দুপাশে 30টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং 8 মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘনমিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রদত্ত শর্তানুসারে, প্রতিটি আয়তঘনাকার গর্তের:
- দৈর্ঘ্য = 14 মিটার
- প্রস্থ = 8 মিটার
ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা (উচ্চতা) = h মিটার।
সুতরাং, 1 টি গর্ত থেকে কাটা মাটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা)
= (14 × 8 × h) ঘনমিটার।যেহেতু রাস্তার দুপাশে মোট 30 টি সমান মাপের গর্ত খোঁড়া হয়েছে, তাই:
30 টি গর্ত থেকে কাটা মাটির মোট আয়তন = 30 × (14 × 8 × h) ঘনমিটার।রাস্তাটি উঁচু করতে মোট 2520 ঘনমিটার মাটি লেগেছে, অর্থাৎ 30 টি গর্ত থেকে তোলা মাটির মোট আয়তন 2520 ঘনমিটার।
শর্তানুসারে, 30 × 14 × 8 × h = 2520 বা, h = 252030 × 14 × 8প্রথমে 30 দিয়ে 2520 কে কাটাকুটি করি (শূন্য কেটে 3 দিয়ে 252 ভাগ করলে 84 হয়):
বা, h = 252084301 × 14 × 8এবার 14 দিয়ে 84 কে কাটাকুটি করি (14 × 6 = 84):
বা, h = 846141 × 8এখন লবে 6 এবং হরে 8 অবশিষ্ট আছে। এদের 2 দিয়ে কাটলে পাই:
বা, h = 6384 বা, h = 34 মিটার।আমরা জানি, 1 মিটার = 100 সেন্টিমিটার। তাই গভীরতা সেমিতে প্রকাশ করলে পাই:
h = 34 × 100 সেমি = 3 × 25 সেমি = 75 সেমি। উত্তর: প্রতিটি গর্তের গভীরতা 75 সেমি (বা 0.75 মিটার) হবে।প্রশ্ন 15 ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির 13 অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি। V.V.I (Madhyamik)
সমাধান:
আমরা জানি, আয়তন বের করার ক্ষেত্রে লিটারে উত্তর চাইলে, বাহুর দৈর্ঘ্যকে ডেসিমিটার (dm)-এ প্রকাশ করতে হয়। কারণ 1 ঘন ডেসিমিটার = 1 লিটার।
ঘনকাকৃতি চৌবাচ্চাটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য = 1.2 মিটার।
1 মিটার = 10 ডেসিমিটার, তাই,
চৌবাচ্চার বাহুর দৈর্ঘ্য = 1.2 × 10 = 12 ডেসিমিটার।অতএব, সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটির জলের আয়তন = (বাহু)3
= (12)3 ঘন ডেসিমিটার = 12 × 12 × 12 = 1728 লিটার (যেহেতু 1 ঘন ডেসিমিটার = 1 লিটার)।প্রশ্নানুসারে, জল তুলে নেওয়ার পর চৌবাচ্চাটিতে 13 অংশ জল অবশিষ্ট আছে।
সুতরাং, চৌবাচ্চাটি থেকে যে পরিমাণ জল তুলে নেওয়া হয়েছে তার অংশ = (সম্পূর্ণ অংশ 1) – 13
= 1 – 13 = 3 – 13 = 23 অংশ।তাহলে, তুলে নেওয়া জলের পরিমাণ = সম্পূর্ণ আয়তনের 23 অংশ
= 1728 × 23 লিটার3 দিয়ে 1728 কে কাটাকুটি করে পাই—
= 172857631 × 2 লিটার = 576 × 2 = 1152 লিটার।এই 1152 লিটার জল মোট 64 টি বালতিতে করে তোলা হয়েছে।
ধরি, প্রতিটি বালতিতে x লিটার জল ধরে।
শর্তানুসারে, 64x = 1152 বা, x = 115264প্রথমে 8 দিয়ে কাটাকুটি করি (8 × 8 = 64 এবং 1152 ÷ 8 = 144):
বা, x = 1152144648এবার আবার 8 দিয়ে 144 কে কাটাকুটি করি (8 × 18 = 144):
বা, x = 1441881 বা, x = 18 উত্তর: প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।প্রশ্ন 16 এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি., 1.5 ডেসিমি. ও 0.9 ডেসিমি. হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি। [এক গ্রোস = 12 ডজন]
কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ 3 সেমি. হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
প্রথম অংশের সমাধান (একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন):
অংকটি করার সুবিধার জন্য আমরা প্যাকেটের ডেসিমিটার এককগুলিকে সেন্টিমিটারে (cm) পরিবর্তন করে নেব। (আমরা জানি, 1 ডেসিমিটার = 10 সেমি)।
- প্যাকেটের দৈর্ঘ্য = 2.8 ডেসিমি. = 2.8 × 10 = 28 সেমি.
- প্যাকেটের প্রস্থ = 1.5 ডেসিমি. = 1.5 × 10 = 15 সেমি.
- প্যাকেটের উচ্চতা = 0.9 ডেসিমি. = 0.9 × 10 = 9 সেমি.
অতএব, সম্পূর্ণ প্যাকেটটির মোট আয়তন = (28 × 15 × 9) ঘন সেমি।
আমরা জানি, 1 ডজন = 12 টি।
প্রশ্নানুসারে, 1 গ্রোস = 12 ডজন।
সুতরাং, 1 গ্রোস = 12 × 12 = 144 টি।
অর্থাৎ, ওই প্যাকেটের ভেতরে মোট 144 টি দেশলাই বাক্স আছে।
অতএব, 1 টি দেশলাই বাক্সের আয়তন = প্যাকেটের মোট আয়তন144 = 28 × 15 × 9144 ঘন সেমি.কাটাকুটি করে পাই (প্রথমে 9 দিয়ে 144 কে কাটলে 16 হয়, তারপর 28 এবং 16 কে 4 দিয়ে কাটলে 7 এবং 4 হয়):
= 7 × 154 = 1054 = 26.25 ঘন সেমি.দ্বিতীয় অংশের সমাধান (দেশলাই বাক্সের উচ্চতা):
এবার দেওয়া আছে যে, একটি দেশলাই বাক্সের:
- দৈর্ঘ্য = 5 সেমি.
- প্রস্থ = 3 সেমি.
ধরি, দেশলাই বাক্সটির উচ্চতা = h সেমি.
আমরা জানি, 1 টি বাক্সের আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) = (5 × 3 × h) ঘন সেমি.
প্রথম অংশ থেকে আমরা পেয়েছি, 1 টি বাক্সের আয়তন = 1054 ঘন সেমি. (ভগ্নাংশ হিসেবে রাখলে কাটাকুটি করতে সুবিধা হবে)।
শর্তানুসারে, 5 × 3 × h = 1054 বা, 15h = 1054 বা, h = 1054 × 1515 দিয়ে 105 কে কাটাকুটি করে পাই (15 × 7 = 105):
বা, h = 10574 × 151 বা, h = 74 বা, h = 1.75 দ্বিতীয় উত্তর: দেশলাই বাক্সটির উচ্চতা 1.75 সেমি হবে।প্রশ্ন 17 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
অংকটি করার সুবিধার জন্য আমরা চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে মিটার (m) থেকে ডেসিমিটার (dm) এককে পরিবর্তন করে নেব। কারণ আমরা জানি, 1 ঘন ডেসিমিটার = 1 লিটার।
- চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য = 2.1 মিটার = 2.1 × 10 = 21 ডেসিমিটার।
- চৌবাচ্চাটির প্রস্থ = 1.5 মিটার = 1.5 × 10 = 15 ডেসিমিটার।
চৌবাচ্চাটি আগে থেকেই অর্ধেক জলপূর্ণ ছিল। এটি শুধুমাত্র একটি অবস্থার বর্ণনা, জল কতটা বৃদ্ধি পাবে তার হিসেবে এই তথ্যের কোনো কাজ নেই। নতুন ঢালা জলটি চৌবাচ্চার ভূমির ক্ষেত্রফলের (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) ওপর নির্ভর করেই ওপরের দিকে উঠবে।
ধরি, চৌবাচ্চায় 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা (উচ্চতা) h ডেসিমিটার বৃদ্ধি পাবে।
তাহলে, এই বৃদ্ধিপ্রাপ্ত জলের আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × বৃদ্ধিপ্রাপ্ত গভীরতা)
= (21 × 15 × h) ঘন ডেসিমিটার।যেহেতু 1 ঘন ডেসিমিটার = 1 লিটার, তাই বৃদ্ধিপ্রাপ্ত জলের আয়তন = (21 × 15 × h) লিটার।
প্রশ্নানুসারে, নতুন ঢালা জলের পরিমাণ 630 লিটার।
শর্তানুসারে, 21 × 15 × h = 630 বা, h = 63021 × 15প্রথমে 21 দিয়ে 630 কে কাটাকুটি করি (21 × 30 = 630):
বা, h = 63030211 × 15এবার 15 দিয়ে 30 কে কাটাকুটি করি (15 × 2 = 30):
বা, h = 302151 বা, h = 2 উত্তর: ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা 2 ডেসিমিটার বৃদ্ধি পাবে।প্রশ্ন 18 গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার এবং 15 মিটার। ওই মাঠের ভিতরে চারটি কোণে পিলার বসানোর জন্য 4 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির ওপর ছড়িয়ে দেওয়া হলো। মাঠের তলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি। Important
সমাধান:
১. মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আয়তক্ষেত্রাকার মাঠটির দৈর্ঘ্য = 20 মিটার এবং প্রস্থ = 15 মিটার।
মাঠের মোট ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) = (20 × 15) বর্গমিটার = 300 বর্গমিটার।২. অবশিষ্ট অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় (যেখানে মাটি ছড়ানো হবে):
মাঠের চার কোণে 4টি গর্ত কাটা হয়েছে। প্রতিটি গর্ত যেহেতু ঘনকাকৃতি, তাই প্রতিটি গর্তের ভূমির আকৃতি বর্গাকার এবং এর দৈর্ঘ্য 4 মিটার।
১টি গর্তের ভূমির ক্ষেত্রফল = (4 × 4) বর্গমিটার = 16 বর্গমিটার। অতএব, ৪টি গর্তের মোট ভূমির ক্ষেত্রফল = (4 × 16) বর্গমিটার = 64 বর্গমিটার।এই গর্তগুলোর ওপরে কোনো মাটি ছড়ানো যাবে না। তাই যে অংশে মাটি ছড়ানো হবে, তার ক্ষেত্রফল হলো অবশিষ্ট মাঠের ক্ষেত্রফল।
অবশিষ্ট মাঠের ক্ষেত্রফল = (মাঠের মোট ক্ষেত্রফল – গর্তগুলোর মোট ক্ষেত্রফল) = (300 – 64) বর্গমিটার = 236 বর্গমিটার।৩. অপসারিত মাটির আয়তন নির্ণয়:
প্রতিটি ঘনকাকৃতি গর্তের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও গভীরতা সবই 4 মিটার।
১টি গর্ত থেকে কাটা মাটির আয়তন = (4)3 ঘনমিটার = (4 × 4 × 4) = 64 ঘনমিটার। অতএব, ৪টি গর্ত থেকে অপসারিত মাটির মোট আয়তন = (4 × 64) ঘনমিটার = 256 ঘনমিটার।৪. উচ্চতা বৃদ্ধির হিসাব:
ধরি, এই 256 ঘনমিটার মাটি অবশিষ্ট 236 বর্গমিটার জমিতে ছড়িয়ে দিলে মাঠের তলের উচ্চতা h মিটার বৃদ্ধি পাবে।
আমরা জানি, আয়তন = ক্ষেত্রফল × উচ্চতা।
শর্তানুসারে, 236 × h = 256 বা, h = 256236লব ও হরকে 4 দিয়ে কাটাকুটি করে পাই—
বা, h = 2566423659 বা, h = 6459যেহেতু লব হরের চেয়ে বড়, তাই একে মিশ্র ভগ্নাংশে পরিণত করি (64 কে 59 দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল 1 এবং ভাগশেষ 5 থাকে):
বা, h = 1559 উত্তর: মাঠের তলের উচ্চতা 1559 মিটার বৃদ্ধি পাবে।প্রশ্ন 19 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নিচু জমিকে 6.5 ডেসিমি. উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে, পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
১. নিচু জমির ভরাট করা মাটির আয়তন:
- নিচু জমির দৈর্ঘ্য = 48 মিটার
- নিচু জমির প্রস্থ = 31.5 মিটার
- জমিটি উঁচু করতে হবে = 6.5 ডেসিমিটার
যেহেতু অন্যান্য একক মিটারে আছে, তাই ডেসিমিটারকে মিটারে পরিবর্তন করে নেব। (10 ডেসিমিটার = 1 মিটার)।
অতএব, জমিটির উচ্চতা বৃদ্ধি = 6.510 মিটার = 0.65 মিটার।
তাহলে, নিচু জমিটি ভরাট করতে মোট প্রয়োজনীয় মাটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (48 × 31.5 × 0.65) ঘনমিটার।২. গর্ত থেকে তোলা মাটির আয়তন:
- গর্তের দৈর্ঘ্য = 27 মিটার
- গর্তের প্রস্থ = 18.2 মিটার
ধরি, গর্তটি h মিটার গভীর করতে হবে।
তাহলে, গর্ত থেকে তোলা মাটির আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা)
= (27 × 18.2 × h) ঘনমিটার।যেহেতু ওই গর্ত থেকে তোলা মাটি দিয়েই জমিটি ভরাট করা হবে, তাই গর্তের মাটির আয়তন এবং জমির প্রয়োজনীয় মাটির আয়তন পরস্পর সমান হবে।
শর্তানুসারে, 27 × 18.2 × h = 48 × 31.5 × 0.65 বা, h = 48 × 31.5 × 0.6527 × 18.2হিসাবের সুবিধার জন্য লব ও হরের দশমিক বিন্দু তুলে দিই:
লবে 31.5 এর জন্য হরে 10 এবং 0.65 এর জন্য হরে 100 গুণ হবে। একইভাবে হরে 18.2 এর জন্য লবে 10 গুণ হবে।
বা, h = 48 × 315 × 65 × 1027 × 182 × 10 × 100উপরের 10 এবং নিচের 10 কেটে দিয়ে পাই:
বা, h = 48 × 315 × 6527 × 182 × 100এবার কাটাকুটি করি:
প্রথমে 48 এবং 100 কে 4 দিয়ে কাটলে লবে 12 এবং হরে 25 থাকে।
বা, h = 4812 × 315 × 6527 × 182 × 10025এবার 315 এবং 27 কে 9 দিয়ে কাটলে (9 × 35 = 315 এবং 9 × 3 = 27):
বা, h = 12 × 31535 × 65273 × 182 × 25লবের 12 কে হরের 3 দিয়ে কাটলে 4 হয়।
বা, h = 4 × 35 × 65182 × 25লবের 35 এবং হরের 25 কে 5 দিয়ে কাটলে 7 এবং 5 হয়:
বা, h = 4 × 357 × 65182 × 255লবের 65 কে হরের 5 দিয়ে কাটলে 13 হয়:
বা, h = 4 × 7 × 6513182 বা, h = 4 × 91182শেষে 182 কে 91 দিয়ে কাটলে 2 হয় (91 × 2 = 182):
বা, h = 4 × 9111822 বা, h = 42 = 2 উত্তর: গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে।প্রশ্ন 20 আমাদের বাড়ির 3টি দরজা আছে, যাদের প্রত্যেকটি 1.5 মি. চওড়া এবং 2 মি. উঁচু এবং 4টি জানালা আছে যাদের প্রত্যেকটি 1.2 মি. চওড়া এবং 1.4 মি. উঁচু। 15 মি. দীর্ঘ, 12 মি. প্রশস্ত এবং 6 মি. উঁচু একটি ঘরের দরজা ও জানালা বাদে চার দেওয়াল প্রতি বর্গমিটারে 22.50 টাকা হিসাবে রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি। Very Important
সমাধান:
১. ঘরের চার দেওয়ালের মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
দেওয়া আছে, ঘরটির দৈর্ঘ্য = 15 মিটার, প্রস্থ = 12 মিটার এবং উচ্চতা = 6 মিটার।
আমরা জানি, চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা
= 2 × (15 + 12) × 6 বর্গমিটার = 2 × 27 × 6 বর্গমিটার = 324 বর্গমিটার।২. দরজা ও জানালার মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
দরজা আছে 3 টি, যাদের প্রত্যেকটি 1.5 মিটার চওড়া এবং 2 মিটার উঁচু।
অতএব, 3 টি দরজার মোট ক্ষেত্রফল = 3 × (1.5 × 2) বর্গমিটার = 3 × 3 = 9 বর্গমিটার।জানালা আছে 4 টি, যাদের প্রত্যেকটি 1.2 মিটার চওড়া এবং 1.4 মিটার উঁচু।
অতএব, 4 টি জানালার মোট ক্ষেত্রফল = 4 × (1.2 × 1.4) বর্গমিটার = 4 × 1.68 = 6.72 বর্গমিটার।তাহলে, দরজা ও জানালার একত্রে মোট ক্ষেত্রফল = 9 + 6.72 = 15.72 বর্গমিটার।
৩. রং করার অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
যেহেতু দরজা ও জানালায় রং করা হবে না, তাই চার দেওয়ালের মোট ক্ষেত্রফল থেকে দরজা-জানালার ক্ষেত্রফল বাদ দিতে হবে।
রং করার অংশের ক্ষেত্রফল = (চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল – দরজা-জানালার ক্ষেত্রফল) = (324 – 15.72) বর্গমিটার = 308.28 বর্গমিটার।৪. মোট খরচের হিসাব:
প্রশ্নানুসারে, প্রতি বর্গমিটারে রং করতে খরচ হয় 22.50 টাকা।
অতএব, 308.28 বর্গমিটারে রং করতে মোট খরচ পড়বে = (308.28 × 22.50) টাকা = 6936.30 টাকা। উত্তর: ঘরের দরজা ও জানালা বাদে চার দেওয়াল রং করতে মোট 6936.30 টাকা খরচ পড়বে।প্রশ্ন 21 আমাদের তিনতলা ফ্ল্যাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার, 1050 লিটার এবং 950 লিটার। এই চাহিদা মেটানোর পরও চাহিদার 25% জল মজুত থাকে, এমন একটি ট্যাঙ্ক বসানোর জন্য মাত্র 2.5 মিটার দীর্ঘ এবং 1.6 মিটার চওড়া একটি জায়গা পাওয়া গেছে। ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।
জায়গাটি যদি প্রস্থে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হতো, তবে ট্যাঙ্কটি কতটা গভীর করতে হতো তা হিসাব করে লিখি। Long Question
প্রথম অংশের সমাধান (ট্যাঙ্কের গভীরতা):
আমরা জানি, জলের আয়তনের ক্ষেত্রে এককটি ঘন ডেসিমিটার (dm³)-এ বের করতে হয়, কারণ 1 ঘন ডেসিমিটার = 1 লিটার।
তিনটি পরিবারের মোট দৈনিক জলের চাহিদা = (1200 + 1050 + 950) লিটার = 3200 লিটার।
প্রশ্নানুসারে, এই চাহিদা মেটানোর পরও 25% জল মজুত রাখতে হবে।
অতএব, মজুত রাখতে হবে = 3200 লিটার এর 25%
= 3200 × 25100 লিটার
= 32 × 25 = 800 লিটার।
সুতরাং, ট্যাঙ্কটির মোট জল ধারণ ক্ষমতা বা আয়তন হতে হবে = (দৈনিক চাহিদা + মজুত জল)
= 3200 + 800 = 4000 লিটার (বা 4000 ঘন ডেসিমিটার)।
ট্যাঙ্ক বসানোর জায়গার মাপ দেওয়া আছে:
- ট্যাঙ্কটির দৈর্ঘ্য = 2.5 মিটার = 2.5 × 10 = 25 ডেসিমিটার।
- ট্যাঙ্কটির প্রস্থ = 1.6 মিটার = 1.6 × 10 = 16 ডেসিমিটার।
ধরি, ট্যাঙ্কটিকে h1 ডেসিমিটার গভীর করতে হবে।
শর্তানুসারে, 25 × 16 × h1 = 4000 বা, h1 = 400025 × 16প্রথমে 25 দিয়ে 4000 কে কাটাকুটি করি (25 × 4 = 100, তাই 25 × 160 = 4000):
বা, h1 = 4000160251 × 16এবার 16 দিয়ে 160 কে কাটলে 10 হয়:
বা, h1 = 16010161 বা, h1 = 10 ডেসিমিটার।10 ডেসিমিটার = 1 মিটার।
দ্বিতীয় অংশের সমাধান (প্রস্থ বেশি হলে গভীরতা):
দ্বিতীয় শর্তে বলা হয়েছে, জায়গাটি যদি প্রস্থে আরও 4 ডেসিমিটার বেশি হতো, তবে ট্যাঙ্কটি কতটা গভীর করতে হতো।
ট্যাঙ্কটির নতুন প্রস্থ হবে = পূর্বের প্রস্থ + 4 ডেসিমিটার
= 16 + 4 = 20 ডেসিমিটার।
ধরি, এক্ষেত্রে ট্যাঙ্কটি h2 ডেসিমিটার গভীর করতে হতো। ট্যাঙ্কের মোট আয়তন একই (4000 ঘন ডেসিমিটার) থাকবে।
শর্তানুসারে, 25 × 20 × h2 = 4000 বা, h2 = 400025 × 20প্রথমে 20 দিয়ে 4000 কে কাটাকুটি করি (4000 ÷ 20 = 200):
বা, h2 = 400020025 × 201এবার 25 দিয়ে 200 কে কাটাকুটি করি (25 × 8 = 200):
বা, h2 = 2008251 বা, h2 = 8 ডেসিমিটার।8 ডেসিমিটার = 0.8 মিটার।
দ্বিতীয় উত্তর: জায়গাটি প্রস্থে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হলে, ট্যাঙ্কটি 0.8 মিটার (বা 8 ডেসিমিটার) গভীর করতে হতো।প্রশ্ন 22 5 সেমি. পুরু কাঠের তক্তা দিয়ে তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা। কিন্তু চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি. এবং 8.5 ডেসিমি. এবং 1 ঘন ডেসিমি. চালের ওজন 1.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি। Most Important
প্রথম অংশের সমাধান (বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা):
চাল সমেত বাক্সের মোট ওজন = 880.5 কিগ্রা।
খালি বাক্সের (শুধুমাত্র কাঠের) ওজন = 115.5 কিগ্রা।
অতএব, বাক্সে থাকা শুধুমাত্র চালের ওজন = (880.5 – 115.5) কিগ্রা = 765 কিগ্রা।
প্রশ্নানুসারে, 1 ঘন ডেসিমিটার (dm³) চালের ওজন = 1.5 কিগ্রা।
অতএব, বাক্সে থাকা মোট চালের আয়তন = 7651.5 ঘন ডেসিমি.।
দশমিক তোলার জন্য লব ও হরকে 10 দিয়ে গুণ করি:
= 765015 ঘন ডেসিমি.15 দিয়ে 7650 কে ভাগ করলে পাই (15 × 51 = 765):
= 7650510151 = 510 ঘন ডেসিমি.।চালের এই আয়তনই হলো বাক্সটির ভিতরের আয়তন।
- বাক্সটির ভিতরের দৈর্ঘ্য = 12 ডেসিমি.
- বাক্সটির ভিতরের প্রস্থ = 8.5 ডেসিমি.
ধরি, বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা = h ডেসিমি.।
শর্তানুসারে, (12 × 8.5 × h) = 510 বা, 102 × h = 510 বা, h = 510102102 দিয়ে 510 কে কাটাকুটি করলে 5 হয় (102 × 5 = 510):
বা, h = 5দ্বিতীয় অংশের সমাধান (রং করার খরচ):
বাক্সটির বাইরের চারপাশ রং করতে হলে আমাদের বাইরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। যেহেতু বাক্সটির কাঠ 5 সেমি. পুরু এবং বাক্সটিতে ঢাকনা আছে, তাই বাইরের মাপগুলো ভিতরের মাপের থেকে বৃদ্ধি পাবে।
কাঠের বেধ (পুরু) = 5 সেমি = 510 ডেসিমি = 0.5 ডেসিমিটার।
ঢাকনাসহ বাক্স হওয়ায় দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা— তিন দিকেই দু-পাশ দিয়ে কাঠ যুক্ত হবে:
- বাইরের দৈর্ঘ্য = 12 + (2 × 0.5) = 12 + 1 = 13 ডেসিমিটার।
- বাইরের প্রস্থ = 8.5 + (2 × 0.5) = 8.5 + 1 = 9.5 ডেসিমিটার।
- বাইরের উচ্চতা = 5 + (2 × 0.5) = 5 + 1 = 6 ডেসিমিটার।
এখন, বাক্সটির বাইরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2 × (দৈর্ঘ্য×প্রস্থ + প্রস্থ×উচ্চতা + উচ্চতা×দৈর্ঘ্য)
= 2 × (13 × 9.5 + 9.5 × 6 + 6 × 13) বর্গ ডেসিমি. = 2 × (123.5 + 57 + 78) বর্গ ডেসিমি. = 2 × (258.5) বর্গ ডেসিমি. = 517 বর্গ ডেসিমি.প্রশ্নানুসারে, প্রতি বর্গ ডেসিমিটারে রং করতে খরচ হয় 1.50 টাকা।
অতএব, বাক্সটির বাইরের চারপাশ রং করতে মোট খরচ পড়বে = (517 × 1.50) টাকা
= 775.50 টাকা।
প্রশ্ন 1 একটি সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি. এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি.। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা—
অতএব, উচ্চতা = আয়তনভূমির ক্ষেত্রফল = 44088 = 5 সেমি.
উত্তর: (b) 5 সেমি.
প্রশ্ন 2 একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি., প্রস্থ 12 মি. এবং গভীরতা 16 মি.। ওই গর্তের মধ্যে 5 মি. দৈর্ঘ্য, 4 মি. প্রস্থ এবং 2 মি. পুরু তক্তা রাখা যাবে—
1 টি তক্তার আয়তন = (5 × 4 × 2) ঘনমিটার।
তক্তার সংখ্যা = গর্তের আয়তন1 টি তক্তার আয়তন = 40 × 12 × 165 × 4 × 2 = 768040 = 192 টি।
উত্তর: (b) 192 টি
প্রশ্ন 3 একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার। ঘনকটির আয়তন—
শর্তানুসারে, 4a2 = 256 ⇒ a2 = 64 ⇒ a = 8
ঘনকটির আয়তন = a3 = 83 = (8 × 8 × 8) = 512 ঘন মিটার।
উত্তর: (d) 512 ঘন মি.
প্রশ্ন 4 দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1 : 27 হলে, ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত—
আয়তনের অনুপাত = a3b3 = 127 ⇒ ab = 13
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 6a26b2 = a2b2 = (13)2 = 19 অর্থাৎ 1 : 9
উত্তর: (c) 1 : 9
প্রশ্ন 5 একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল S বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে, S এবং d-এর সম্পর্ক—
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল, S = 6a2 ……(i)
কর্ণের দৈর্ঘ্য, d = a√3
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই, d2 = 3a2
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই, 2d2 = 6a2
সমীকরণ (i) থেকে 6a2 এর জায়গায় S বসিয়ে পাই: 2d2 = S বা S = 2d2
উত্তর: (c) S = 2d2
প্রশ্ন 1 একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের 4 গুণ হবে।
তাহলে, প্রথম ঘনকের আয়তন = a3 ঘন একক।
এখন, ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে নতুন দৈর্ঘ্য হবে = 2a একক।
নতুন ঘনকের আয়তন = (2a)3 = 8a3 ঘন একক।
অর্থাৎ, আয়তন প্রথম ঘনকের 8 গুণ হবে, কিন্তু প্রশ্নে 4 গুণ বলা আছে।
উত্তর: মিথ্যা (False)
প্রশ্ন 2 বর্ষাকালে 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি. উচ্চতার হলে, বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘনমিটার। [1 আর = 100 বর্গমিটার, 1 হেক্টর = 100 আর]
জলের উচ্চতা = 5 সেমি. = 5100 মিটার = 0.05 মিটার।
বৃষ্টির জলের আয়তন = (ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা) = (20000 × 0.05) ঘনমিটার = 1000 ঘনমিটার।
উত্তর: সত্য (True)
প্রশ্ন 1 একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা ___________ টি।
উত্তর: 4
প্রশ্ন 2 একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ___________ × একটি ধারের দৈর্ঘ্য।
উত্তর: √2
প্রশ্ন 3 সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম ___________।
উত্তর: ঘনক (Cube)
প্রশ্ন 1 একটি আয়তঘনের তলসংখ্যা = x, ধারসংখ্যা = y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z এবং কর্ণের সংখ্যা = p হলে, (x – y + z + p) -এর মান কত তা লিখি।
তলসংখ্যা (x) = 6
ধারসংখ্যা (y) = 12
শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা (z) = 8
কর্ণের সংখ্যা (p) = 4
এখন প্রদত্ত রাশিতে মানগুলি বসিয়ে পাই:
(x – y + z + p) = 6 – 12 + 8 + 4 = (6 + 8 + 4) – 12 = 18 – 12 = 6 উত্তর: 6
প্রশ্ন 2 দুটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4, 6, 4 একক এবং 8, (2h – 1), 2 একক। যদি আয়তঘন দুটির ঘনফল সমান হয়, তবে h -এর মান কত তা লিখি।
দ্বিতীয় আয়তঘনের ঘনফল = 8 × (2h – 1) × 2 = 16(2h – 1) ঘন একক।
শর্তানুসারে, উভয় আয়তঘনের ঘনফল সমান:
16(2h – 1) = 96 বা, 2h – 1 = 9616 বা, 2h – 1 = 6 বা, 2h = 6 + 1 = 7 বা, h = 72 = 3.5 উত্তর: 3.5
প্রশ্ন 3 একটি ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে তা হিসাব করে লিখি।
প্রাথমিক সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (S1) = 6a2 বর্গ একক।
বাহুর দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য হবে:
= a + (a × 50100) = a + a2 = 3a2 একক। নতুন সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (S2) = 6 × (3a2)2 = 6 × 9a24 = 54a24 = 13.5a2 বর্গ একক。
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = (13.5a2 – 6a2) = 7.5a2 বর্গ একক।
শতকরা বৃদ্ধি = (7.5a26a2 × 100)% = (7.56 × 100)% = (1.25 × 100)% = 125%
উত্তর: 125% বৃদ্ধি পাবে
প্রশ্ন 4 তিনটি নিরেট ঘনক যাদের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সেমি., 4 সেমি. এবং 5 সেমি.। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন নিরেট ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে তা লিখি।
প্রথম ঘনকের আয়তন = 33 = 27 ঘন সেমি. দ্বিতীয় ঘনকের আয়তন = 43 = 64 ঘন সেমি. তৃতীয় ঘনকের আয়তন = 53 = 125 ঘন সেমি. তিনটি ঘনকের মোট আয়তন = (27 + 64 + 125) = 216 ঘন সেমি. ধরি, নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য = a সেমি.
শর্তানুসারে, a3 = 216 ⇒ a = 3√216
যেহেতু 6 × 6 × 6 = 216, তাই: a = 6
উত্তর: 6 সেমি.
প্রশ্ন 5 একটি ঘরের দুটি সংলগ্ন দেওয়ালের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মি. এবং 8 মি.। ঘরটির উচ্চতা 4 মি. হলে, ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত তা হিসাব করে লিখি।
অতএব, ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য = 12 মিটার এবং প্রস্থ = 8 মিটার।
(মেঝের ক্ষেত্রফলের জন্য উচ্চতার মান 4 মি. কোনো কাজে লাগবে না।)
ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) = (12 × 8) বর্গমিটার = 96 বর্গমিটার।
উত্তর: 96 বর্গমিটার
Share This Post
Related Posts
Popular Posts
