koshe dekhi 5.1 class 10 কষে দেখি-5.1 | Class-10 Maths | অধ্যায় 5: অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)

সমাধান: অনুপাত নির্ণয় করার আগে দুটি রাশিকেই একই এককে (মাসে) পরিবর্তন করতে হবে।
আমরা জানি, 1 বছর = 12 মাস।
সুতরাং, 1 বছর 6 মাস = (12 + 6) মাস = 18 মাস।
নির্ণেয় অনুপাত = 4 মাস : 18 মাস = 4 : 18 = 2 : 9 (উভয় পদকে 2 দিয়ে ভাগ করে) যেহেতু 2 < 9 (অর্থাৎ পূর্বপদ < উত্তরপদ), তাই এটি একটি লঘুনুপাত।

সমাধান: দুটি রাশিকেই পয়সায় পরিবর্তন করে নিই।
আমরা জানি, 1 টাকা = 100 পয়সা।
সুতরাং, 1 টাকা 25 পয়সা = (100 + 25) পয়সা = 125 পয়সা।
নির্ণেয় অনুপাত = 75 পয়সা : 125 পয়সা = 75 : 125 = 3 : 5 (উভয় পদকে 25 দিয়ে ভাগ করে) যেহেতু 3 < 5 (অর্থাৎ পূর্বপদ < উত্তরপদ), তাই এটি একটি লঘুনুপাত।

সমাধান: দুটি রাশিকেই সেন্টিমিটারে (cm) পরিবর্তন করে নিই।
আমরা জানি, 1 মিটার = 100 সেমি.।
সুতরাং, 0.6 মিটার = (0.6 × 100) সেমি. = 60 সেমি.।
নির্ণেয় অনুপাত = 60 সেমি. : 60 সেমি. = 60 : 60 = 1 : 1 (উভয় পদকে 60 দিয়ে ভাগ করে) যেহেতু 1 = 1 (অর্থাৎ পূর্বপদ = উত্তরপদ), তাই এটি একটি সাম্যানুপাত।

সমাধান: দুটি রাশিকেই গ্রামে পরিবর্তন করে নিই।
আমরা জানি, 1 কিলোগ্রাম (কিগ্রা) = 1000 গ্রাম।
সুতরাং, 1.2 কিগ্রা = (1.2 × 1000) গ্রাম = 1200 গ্রাম।
নির্ণেয় অনুপাত = 1200 গ্রাম : 60 গ্রাম = 1200 : 60 = 120 : 6 (উভয় দিক থেকে শূন্য বাদ দিয়ে) = 20 : 1 (উভয় পদকে 6 দিয়ে ভাগ করে) যেহেতু 20 > 1 (অর্থাৎ পূর্বপদ > উত্তরপদ), তাই এটি একটি গুরুানুপাত।

সমাধান: অনুপাত নির্ণয় করতে হলে দুটি রাশিকেই একই এককে প্রকাশ করতে হবে।
আমরা জানি, 1 কিগ্রা = 1000 গ্রাম।
সুতরাং, p কিগ্রা = 1000p গ্রাম।
নির্ণেয় অনুপাত = 1000p গ্রাম : q গ্রাম = 1000p : q উত্তর: 1000p : q

সমাধান: অনুপাত শুধুমাত্র সমজাতীয় এবং একই এককবিশিষ্ট রাশির মধ্যে নির্ণয় করা সম্ভব।
যেহেতু x হলো ‘দিন’ এককে এবং z হলো ‘মাস’ এককে, তাই সরাসরি এদের অনুপাত করা যাবে না।
অনুপাত নির্ণয় করা তখনই সম্ভব হবে, যখন দুটি রাশিকেই একই এককে (হয় ‘দিন’ অথবা ‘মাস’-এ) পরিবর্তন করা হবে।
(যেমন: z মাস = 30z দিন ধরলে, অনুপাত হবে x : 30z) উত্তর: যখন দুটি রাশিকেই একই এককে প্রকাশ করা হবে।

সমাধান: ধরি, একটি অনুপাত হলো a : b
তাহলে এর ব্যস্ত অনুপাত (Inverse ratio) হবে b : a
এখন, (a : b) এবং (b : a) এর মিশ্র অনুপাত: = (পূর্বপদগুলির গুণফল) : (উত্তরপদগুলির গুণফল) = (a × b) : (b × a) = ab : ab = 1 : 1 যেহেতু মিশ্র অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদ সমান, তাই এটি একটি সাম্যানুপাত। উত্তর: সাম্যানুপাত

সমাধান: মিশ্র অনুপাত নির্ণয়ের সূত্র অনুযায়ী পূর্বপদগুলোর গুণফল এবং উত্তরপদগুলোর গুণফলের অনুপাত করতে হবে।
পূর্বপদগুলির গুণফল = ab × bc × ca = 1 (সবকিছু কেটে যাবে) উত্তরপদগুলির গুণফল = c × a × b = abc নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = 1 : abc উত্তর: 1 : abc

সমাধান: ধরি, নির্ণেয় অনুপাতটি হলো A : B
শর্তানুসারে, (x² : yz) এবং (A : B) এর মিশ্র অনুপাত = xy : z²
বা, (x² × A) : (yz × B) = xy : z² বা, x² Ayz B = xyz² বা, AB = xy × yzz² × x² বা, AB = x y² zz² x² বা, AB = y²xz উত্তর: নির্ণেয় অনুপাতটি হলো y² : xz

সমাধান: মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করতে পূর্বপদ ও উত্তরপদগুলোকে আলাদা করে গুণ করি:
পূর্বপদগুলির গুণফল = x² × y² × z² = x²y²z² উত্তরপদগুলির গুণফল = yzx × zxy × xyz = x²y²z²xyz = xyz (কাটাকুটি করার পর)
অতএব, নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত:
= x²y²z² : xyz উভয় পদকে xyz দিয়ে ভাগ করে পাই:
= xyz : 1 উত্তর: xyz : 1

সমাধান: মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করতে পূর্বপদগুলির গুণফল এবং উত্তরপদগুলির গুণফলের অনুপাত করতে হয়।
প্রদত্ত অনুপাতগুলি হলো: 4 : 5, 5 : 7 এবং 9 : 11
পূর্বপদগুলির গুণফল = 4 × 5 × 9 = 180 উত্তরপদগুলির গুণফল = 5 × 7 × 11 = 385 নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = 180 : 385

উভয় পদকে 5 দিয়ে ভাগ করে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করি:

= 1805 : 3855 = 36 : 77 উত্তর: 36 : 77

সমাধান:
প্রদত্ত অনুপাতগুলির মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করতে প্রথমে পূর্বপদ এবং উত্তরপদগুলিকে গুণ আকারে লিখি:
নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = পূর্বপদগুলির গুণফলউত্তরপদগুলির গুণফল = (x + y) × (x² + y²) × (x² – y²)² (x – y) × (x + y)² × (x⁴ – y⁴)

এবার হর (Denominator) এর পদগুলিকে সূত্রের সাহায্যে ভেঙে নিই:

• (x + y)² = (x + y)(x + y)
• (x⁴ – y⁴) = (x²)² – (y²)² = (x² + y²)(x² – y²)

= (x + y) × (x² + y²) × (x² – y²)² (x – y) × (x + y)(x + y) × (x² + y²)(x² – y²)

আমরা জানি, (x – y)(x + y) = (x² – y²)। তাই হরের এই অংশটি পরিবর্তন করে পাই:

= (x + y) × (x² + y²) × (x² – y²)² (x² – y²) × (x + y) × (x² + y²) × (x² – y²)

হরের রাশিগুলিকে গুছিয়ে লিখলে:

= (x + y) × (x² + y²) × (x² – y²)² (x + y) × (x² + y²) × (x² – y²)²

দেখা যাচ্ছে, লব এবং হর সম্পূর্ণ একই। তাই সব পদগুলো কাটাকুটি হয়ে যাবে।

= 11 = 1 : 1 উত্তর: 1 : 1

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a : b = 6 : 7 বা, ab = 67
এবং b : c = 8 : 7 বা, bc = 87

a : c এর মান নির্ণয় করার জন্য অনুপাত দুটিকে গুণ করে পাই:

ab × bc = 67 × 87

বামদিকে b এবং b কেটে যাবে:

বা, ac = 6 × 87 × 7 বা, ac = 4849 উত্তর: a : c = 48 : 49

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a : b = 8 : 7 বা, ab = 87
এবং b : c = 7 : 9 বা, bc = 79

আগের অংকটির মতোই অনুপাত দুটিকে গুণ করে পাই:

ab × bc = 87 × 79

বামদিকে b এবং b কেটে যাবে, এবং ডানদিকে 7 এবং 7 কেটে যাবে:

বা, ac = 89 উত্তর: a : c = 8 : 9

সমাধান:

এখানে দুটি অনুপাতেই ‘B’ সাধারণ (common) পদ। A : B : C নির্ণয় করতে হলে দুটি অনুপাতের ‘B’-এর মান সমান করতে হবে।

প্রথম অনুপাতে B এর মান = 4
দ্বিতীয় অনুপাতে B এর মান = 2

B এর মান সমান করার জন্য, 4 এবং 2 এর ল.সা.গু. (LCM) বের করতে হবে। 4 এবং 2 এর ল.সা.গু. হলো 4।
তাই দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় পদকে 2 দিয়ে গুণ করতে হবে যাতে B এর মান 4 হয়।

A : B = 3 : 4 B : C = 2 : 3 = (2 × 2) : (3 × 2) = 4 : 6

এখন উভয় অনুপাতে B এর মান সমান (4)। সুতরাং আমরা সরাসরি লিখতে পারি:

A : B : C = 3 : 4 : 6 উত্তর: A : B : C = 3 : 4 : 6

সমাধান:

এখানে দুটি অনুপাতেই ‘y’ সাধারণ (common) পদ। x : y : z নির্ণয় করতে হলে দুটি অনুপাতের ‘y’-এর মান সমান করতে হবে।

প্রথম অনুপাতে y এর মান = 3
দ্বিতীয় অনুপাতে y এর মান = 4

y এর মান সমান করার জন্য, 3 এবং 4 এর ল.সা.গু. (LCM) বের করতে হবে। 3 এবং 4 এর ল.সা.গু. হলো 12।
তাই প্রথম অনুপাতের উভয় পদকে 4 দিয়ে এবং দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় পদকে 3 দিয়ে গুণ করতে হবে।

x : y = 2 : 3 = (2 × 4) : (3 × 4) = 8 : 12 y : z = 4 : 7 = (4 × 3) : (7 × 3) = 12 : 21

এখন উভয় অনুপাতে y এর মান সমান (12)। সুতরাং আমরা সরাসরি লিখতে পারি:

x : y : z = 8 : 12 : 21 উত্তর: x : y : z = 8 : 12 : 21

সমাধান:

দেওয়া আছে, x : y = 3 : 4 বা, xy = 34

এখন প্রদত্ত রাশিতে x এবং y-এর মান বসিয়ে পাই:

(3y – x) : (2x + y) = 3y – x2x + y = 3(4k) – 3k2(3k) + 4k = 12k – 3k6k + 4k = 9k10k

লব ও হর থেকে k কেটে গিয়ে থাকে:

= 910 উত্তর: 9 : 10

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a : b = 8 : 15 বা, ab = 815
b : c = 5 : 8 বা, bc = 58
c : d = 4 : 5 বা, cd = 45

এখন a : d এর মান নির্ণয় করার জন্য অনুপাত তিনটিকে পরপর গুণ করে পাই:

ab × bc × cd = 815 × 58 × 45

বামদিকে b এবং c উপর-নিচ কেটে যাবে:

বা, ad = 8 × 5 × 415 × 8 × 5

ডানদিকে 8 এবং 5 উপর-নিচ কেটে গিয়ে থাকে:

বা, ad = 415 উত্তর: a : d = 4 : 15

সমাধান:

দেওয়া আছে, p : q = 5 : 7

প্রশ্নে আরও দেওয়া আছে, p – q = -4

এখানে p এবং q এর মান বসিয়ে পাই:

5k – 7k = -4 বা, -2k = -4 বা, k = -4-2 বা, k = 2

k-এর মান থেকে p এবং q এর প্রকৃত মান নির্ণয় করি:

p = 5 × 2 = 10 q = 7 × 2 = 14

এখন, (3p + 4q) এর মান বের করতে হবে:

3p + 4q = 3(10) + 4(14) = 30 + 56 = 86 উত্তর: 3p + 4q এর মান 86